Hình vẽ (Hình dưới)

a, AM là phân giác trong của ΔABC (gt) ⇒$\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$

Mà $\hat{C_{1}}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (cmt)

⇒ $\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}=\hat{C_{1}}$

Xét ΔAMB và ΔCMN có:

$\hat{A_{1}}=\hat{C_{1}}$ (cmt)

$\widehat{AMB}=\widehat{CMN}$ (hai góc đối đỉnh)

⇒ ΔAMB~ΔCMN (g.g)

⇒ $\frac{MB}{MN}=\frac{AM}{CM}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ BM.MC=MN.MA

b, ΔAMB~ΔCMN (cmt)

⇒ $\hat{B_{1}}=\hat{N_{1}}$ (hai góc tương ứng)

Xét ΔABM và ΔANC có:

$\hat{B_{1}}=\hat{N_{1}}$ (cmt)

$\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}$ (cmt)

⇒ ΔABM~ΔANC (g.g)

c, $\frac{MB}{MN}=\frac{AM}{CM}$ (cmt)

⇒ $\frac{MB}{AM}=\frac{MN}{CM}$

Xét ΔBMN và ΔAMC có

$\frac{MB}{AM}=\frac{MN}{CM}$ (cmt)

$\widehat{BMN}=\widehat{AMC}$ (hai góc đối đỉnh)

⇒ ΔBMN~ΔAMC (c.g.c)

⇒ $\hat{B_{2}}=\hat{A_{2}}$ (hai góc tương ứng)

mà $\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}$ (cmt), $\hat{A_{1}}=\hat{C_{1}}$ (cmt)

⇒ $\hat{B_{2}}=\hat{C_{1}}$

Xét ΔBCN có: $\hat{B_{2}}=\hat{C_{1}}$ (cmt)

⇒ ΔBCN cân tại N