Mình gợi ý cách làm như sau

1)

Kẻ tiếp tuyến $Ax$ như bình vẽ

$\to \widehat{xAC}=\widehat{ABC}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AC$ )

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$ ( $BFEC$ là tứ giác nội tiếp )

$\to \widehat{xAC}=\widehat{AEF}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

$\to Ax\,\,||\,\,EF$

Mà $Ax\bot OA$ ( vì $Ax$ là tiếp tuyến )

Vậy $OA\bot EF$

2)

$\Delta ABA'$ và $\Delta ACA'$ lần lượt nội tiếp $\left( O \right)$ có $AA'$ là đường kính

$\to\begin{cases}AB\bot A’B\\AC\bot A’C\end{cases}$

H là trực tâm $\Delta ABC$

$\to\begin{cases}AB\bot CH\\AC\bot BH\end{cases}$

$\to\begin{cases}A’B\,\,||\,\,CH\\A’C\,\,||\,\,BH\end{cases}$

$\to BHCA'$ là hình bình hành

4)

$G$ là giao điểm $HO$ và $MA$

Nên ba điểm $H,O,G$ thẳng hàng là hiển nhiên

5)

Sửa đề $H$ là trực tâm

Kẻ $AT$ cắt $\left( O \right)$ tại $J$

$BCEF$ là tứ giác nội tiếp

Có $EF$cắt $BC$ tại $T$

$\to TB.TC=TE.TF$

$AJBC$ nội tiếp $\left( O \right)$

Có $AJ$ cắt $BC$ tại $T$

$\to TB.TC=TJ.TA$

$\to TE.TF=TJ.TA$

$\to AJFE$ là tứ giác nội tiếp

Mà $AHFE$ cũng nội tiếp

Nên ngũ giác $AJFHE$ nội tiếp được đường tròn

$\to \widehat{AJH}=\widehat{AFH}=90{}^\circ $

$\to HJ\bot AT$

$\Delta BEC$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm

$\to ME=MB$

$\to \Delta MEB$ cân tại $M$

$\to \widehat{MEB}=\widehat{MBE}$

Mà $\widehat{MBE}=\widehat{DFH}$ ( vì $BFHD$ nội tiếp )

$\to \widehat{MEB}=\widehat{DFH}$

Ta có:

$\begin{cases}\widehat{BDF}=\widehat{DFH}+\widehat{DCF}\\\widehat{FEM}=\widehat{MEB}+\widehat{FEB}\end{cases}$

Mà:

$\widehat{DFH}=\widehat{MEB}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\widehat{DCF}=\widehat{FEB}$   ( vì $BCEF$ nội tiếp )

Nên $\widehat{BDF}=\widehat{FEM}$

$\to DFEM$ là tứ giác nội tiếp

Có $EF$ cắt $DM$ tại $T$

$\to TF.TE=TD.TM$

$\to TJ.TA=TD.TM$

$\to AJDM$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{AJM}=\widehat{ADM}=90{}^\circ $

$\to MJ\bot AT$

Mà $HJ\bot AT$  ( cmt )

$\to MJ\equiv HJ$

$\to 3$ điểm $M,H,J$ thẳng hàng

Xét $\Delta ATM$ có hai đường cao $MJ$ và $AD$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ATM$