a)

$\left( K \right)$ tiếp xúc với $AB$

$\to AB$ là tiếp tuyến của $\left( K \right)$

Xét $\Delta ATD$ và $\Delta ACT$, ta có:

$\widehat{TAC}$ là góc chung

$\widehat{ATD}=\widehat{ACT}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $TD$ )

$\to \Delta ATD\sim\Delta ACT\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \widehat{ADT}=\widehat{ATC}$ ( hai góc tương ứng )

Mà: $\begin{cases}\widehat{ADT}+\widehat{TDC}=180{}^\circ\,\,\,\left(\text{ hai góc kề bù }\right)\\\\\widehat{ATC}+\widehat{BTC}=180{}^\circ\,\,\,\left(\text{ hai góc kề bù }\right)\end{cases}$

Nên: $\widehat{TDC}=\widehat{BTC}$

Xét $\Delta TDC$ và $\Delta BTC$, ta có:

$\widehat{TDC}=\widehat{BTC}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\widehat{TCD}=\widehat{BCT}$ ( vì $CT$ là tia phân giác $\widehat{ACB}$ )

$\to \Delta TDC\sim\Delta BTC\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \widehat{DTC}=\widehat{TBC}$

Mà $\widehat{DTC}=\widehat{DEC}$ ( vì $TECD$ nội tiếp )

Nên $\widehat{TBC}=\widehat{DEC}$

Ta có:

$\begin{cases}\widehat{EBT}+\widehat{EBC}=\widehat{TBC}\,\,\,\left(\text{ hiển nhiên }\right)\\\\\widehat{ECB}+\widehat{EBC}=\widehat{DEC}\,\,\,\left(\text{ góc ngoài của tam giác }\right)\end{cases}$

Mà $\widehat{TBC}=\widehat{DEC}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

Nên $\widehat{EBT}=\widehat{ECB}$

b)

Gọi $F$ là giao điểm $CE$ và $BT$

Xét $\Delta FBE$ và $\Delta FCB$, ta có:

$\widehat{BFC}$ là góc chung

$\widehat{EBT}=\widehat{ECB}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta FBE\sim\Delta FCB\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{FB}{FC}=\dfrac{FE}{FB}$

$\to F{{B}^{2}}=FE.FC\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta FTE$ và $\Delta FCT$, ta có:

$\widehat{TFC}$ là góc chung

$\widehat{FTE}=\widehat{FCT}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $TE$ )

$\to \Delta FTE\sim\Delta FCT\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{FT}{FE}=\dfrac{FC}{FT}$

$\to F{{T}^{2}}=FE.FC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,F{{B}^{2}}=F{{T}^{2}}$

$\to FB=FT$

$\to F$ là trung điểm $BT$

$\to CE$ đi qua trung điểm $F$ của đường thẳng $BT$