a)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$, ta có:

+   $AB=AC\left( gt \right)$

+   $AD$ là cạnh chung

+   $BD=CD$ (vì $D$ là trung điểm $BC$)

$\to \Delta ABD=\Delta ACD\left( c.c.c \right)$

b)

Vì $\Delta ABD=\Delta ACD\left( cmt \right)$

$\to \widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (hai góc tương ứng)

$\to \widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

$\to \widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AD\bot BC$

c)

Xét $\Delta AME$ và $\Delta DME$, ta có:

+   $AE=DE$ (vì $E$ là trung điểm $AD$)

+   $\widehat{AEM}=\widehat{DEM}=90{}^\circ $

+   $ME$ là cạnh chung

$\to \Delta AME=\Delta DME\left( c.g.c \right)$

d)

Vì $\Delta AME=\Delta DME\left( cmt \right)$

$\to MA=MD$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta MAD$ cân tại $M$

$\to \widehat{MAD}=\widehat{MDA}$

Mà $\widehat{MAD}+\widehat{MBD}=90{}^\circ \,\,;\,\,\widehat{MDA}+\widehat{MDB}=90{}^\circ $

$\to \widehat{MBD}=\widehat{MDB}$

$\to \Delta MBD$ cân tại $M$

$\to MB=MD$

$\to MB=MA$

Xét $\Delta AMH$ và $\Delta BMD$, ta có:

+   $MA=MB\left( cmt \right)$

+   $\widehat{MAH}=\widehat{MBD}$ (vì $Ax//BC$, hai góc so le trong)

+   $AH=BD\left( gt \right)$

$\to \Delta AMH=\Delta BMD\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{AMH}=\widehat{BMD}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BMD}+\widehat{AMD}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

$\to \widehat{AMH}+\widehat{AMD}=180{}^\circ $

$\to \widehat{DMH}=180{}^\circ $

$\to D,M,H$ thẳng hàng