a)

Xét $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$, ta có:

+   $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

+   $AI$ là cạnh chung

+   $BI=CI$ (vì $AI$ là trung tuyến)

$\to \Delta ABI=\Delta ACI\left( c.c.c \right)$

b)

Vì $\Delta ABI=\Delta ACI\left( cmt \right)$

$\to \widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

$\to \widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AI\bot BC$

c)

Vì $AI$ là trung tuyến

$\to I$ là trung điểm $BC$

$\to BI=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5cm$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABI$ vuông tại $I$

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{I}^{2}}+B{{I}^{2}}$

$\to A{{I}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}$

$\to A{{I}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}$

$\to A{{I}^{2}}=144$

$\to AI=12cm$

d)

Xét $\Delta ABC$ có hai đường trung tuyến $AI,BD$ cắt nhau tại $G$

$\to G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\to BG=2GD$

Mà $BI<BG$ (vì $\Delta BIG$ vuông tại $I$)

Vậy $BI<2GD$