Đáp án:

$S = 75\arctan\dfrac12 - 25$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M;\, N$ lần lượt là trung điểm $AD;\, CD$

Gọi $P;\, Q$ lần lượt là giao điểm của nửa đường tròn tâm $N$ với nửa đường tròn tâm $M$ và một phần tư đường tròn tâm $A$

Gọi $\theta;\, \varphi$ lần lượt là góc giữa $MD$ và $MN;\, AD$ và $AN$

$\Rightarrow \begin{cases}\theta = \arctan\dfrac{ND}{MD}=\arctan\dfrac55 =\dfrac{\pi}{4}\\\varphi =\arctan\dfrac{ND}{AD}=\arctan\dfrac12\end{cases}$

+ Diện tích tứ giác $MDNP:$

$S_{MDNP}=MD.ND = 5.5 = 25$

+ Diện tích hình quạt của $(M)$ giới hạn bởi dây cung $DP$ và cung tương ứng:

$S_{qMDP}= \dfrac12MD^2\cdot 2\theta= \dfrac{25\pi}{4}$

+ Diện tích hình quạt của $(N)$ giới hạn bởi dây cung $DP$ và cung tương ứng:

$S_{qNDP}=\dfrac12ND^2\cdot(\pi - 2\theta) = \dfrac12\cdot 25\cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{25\pi}{4}$

+ Tổng diện tích hai hình viên phân tương ứng:

$S_{vp_1}=S_{qMDP} + S_{qNDP} - S_{MDNP}$

$\to S_{vp_1}= \dfrac{25\pi}{2} - 25$

+ Diện tích tứ giác $ADNP:$

$S_{ADNQ}=AD.ND = 10.5 = 50$

+ Diện tích hình viên phân của $(A)$ giới hạn bởi dây $DQ$ và cung tương ứng:

$S_{qADQ}= \dfrac12AD^2\cdot 2\varphi = 100\arctan\dfrac12$

+ Diện tích hình viên phân của $(N)$ giới hạn bởi dây $DQ$ và cung tương ứng:

$S_{qNDQ}=\dfrac12ND^2\cdot(\pi - 2\varphi) = \dfrac12\cdot 25\cdot \left(\pi - 2\arctan\dfrac12\right) = \dfrac{25\pi}{2} - 25\arctan\dfrac12$

+ Tổng diện tích hai hình viên phân tương ứng:

$S_{vp_2}=S_{qADQ} + S_{qNDQ} - S_{ADNQ}$

$\to S_{vp_2}= 100\arctan\dfrac12 + \dfrac{25\pi}{2} - 25\arctan\dfrac12 - 50$

$\to S_{vp_2}= 75\arctan\dfrac12 + \dfrac{25\pi}{2} - 50$

+ Diện tích cần tìm:

$S = S_{vp_2} - S_{vp_1}$

$\to S = 75\arctan\dfrac12 + \dfrac{25\pi}{2} - 50 - \left(\dfrac{25\pi}{2} - 25\right)$

$\to S = 75\arctan\dfrac12 - 25$