a, Xét (O), đường kính AB có: C ∈ (O)

⇒ $\widehat{ACB}=90°$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ BC⊥AC ⇒ BC⊥AM

Xét ΔABC vuông tại C ($\widehat{ACB}=90°$) có:

$\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=90°$

Hay $\widehat{ABC}+30°=90°$

⇔ $\widehat{ABC}=60°$

Xét (O) có: Bx là tiếp tuyến, B là tiếp điểm

⇒ OB⊥Bx ⇒ AB⊥Bx ⇒ $\widehat{ABM}=90°$

 Có $\widehat{ABM}=\widehat{ABC}+\widehat{CBM}$

⇒ $\widehat{CBM}=\widehat{ABM}-\widehat{ABC}$

Hay $\widehat{CBM}=90°-60°=30°$

b, Áp dụng tỉ số lượng giác trong ΔABC vuông tại C ($\widehat{ACB}=90°$) có:

$sin\widehat{CAB}=\frac{BC}{AB}$

Hay $sin30°=\frac{BC}{2R}$

⇒ $\frac{BC}{2R}=\frac{1}{2}$

⇔ $BC=R$

ÁP dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại C ($\widehat{ACB}=90°$) có:

$AB²=BC²+AC²$

Hay $(2R)²=R²+AC²$

⇔ $4R²=R²+AC²$

⇔ $AC²=4R²-R²=3R²$

⇔ $AC=\sqrt{3}R$ (vì AC>0)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABM vuông tại B ($\widehat{ABM}=90°$) có:

$BC²=AC.CM$

Hay $R²=\sqrt{3}R.CM$

⇒ $R²=\sqrt{3}R.CM$

⇒ $CM=\frac{R²}{\sqrt{3}R}=\frac{R}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}R}{3}$ 

⇒ $AM=AC+CM=\sqrt{3}R+\frac{\sqrt{3}R}{3}=\frac{3\sqrt{3}R}{3}+\frac{\sqrt{3}R}{3}=\frac{4\sqrt{3}R}{3}$

Áp dụng định lí Pytago trong ΔABM vuông tại B ($\widehat{ABM}=90°$) có:

$AM²=AB²+BM²$

Hay $(\frac{4\sqrt{3}R}{3})²=R²+BM²$

⇔ $BM²=(\frac{4\sqrt{3}R}{3})²-R²$

⇔ $BM²=\frac{16R²}{3}-R²$

⇔ $BM²=\frac{13R²}{3}$

⇔ $BM=\frac{\sqrt{39}R}{3}$ (vì BM>0)