a)

$MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90{}^\circ $

Ta có:

$\begin{cases}OA=OB=R\\MA=MB\,\,\,\left(\text{ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau }\right)\end{cases}$

$\to OM$ là đường trung trực của $AB$

$\to OM\bot AB$ tại giao điểm $H$

$\to H$ là trung điểm $AB$

$\to HA=HB$

$\Delta MAO$ vuông tại $A$, có $AH$ là đường cao:

$\to \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}$ ( hệ thức lượng )

$\to A{{H}^{2}}=\dfrac{A{{M}^{2}}.A{{O}^{2}}}{A{{M}^{2}}+A{{O}^{2}}}$

$\to A{{H}^{2}}=\dfrac{{{8}^{2}}\,.\,{{6}^{2}}}{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}$

$\to A{{H}^{2}}=23,04$

$\to AH=4,8\,\,\left( cm \right)$

b)

$\Delta MAO$ vuông tại $A$, có $AH$ là đường cao:

$\to MA.AO=A{{H}^{2}}$ ( hệ thức lượng )

$\Delta AOK$ vuông tại $O$, có $OH$ là đường cao:

$\to HK.HA=O{{H}^{2}}$

$\to HK.HB=O{{H}^{2}}$ ( vì $HA=HB$ )

Cộng vế theo vế, ta được:

$\,\,\,\,\,\,\,MA.AO\,+\,HK.HB\,=\,A{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}$

$\to MA.AO\,+\,HK.HB=O{{A}^{2}}$

$\to MA.AO\,+\,HK.HB\,=\,{{R}^{2}}$

c)

Sửa đề, đường thẳng đi qua $O$ vuông góc với $OM$.

$\begin{cases}OM\bot AB\\OM\bot EF\end{cases}\to\,\,\,AB\,\,||\,\,EF$

$OM$ là đường trung trực của $AB$

Mà $AB\,\,||\,\,EF$

Nên $OM$ cũng là đường trung trực của $EF$

$\to OE=OF$

$\to O$ là trung điểm $EF$

$\to EF=2OE$

$\Delta MOE$ vuông tại $O$, có $OA$ là đường cao

$\to\begin{cases}MO.OE=OA.ME\\MA.AE=OA^2=R^2\end{cases}$   ( hệ thức lượng )

$\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{\Delta MEF}}=\dfrac{1}{2}MO\,.\,EF$

$\to {{S}_{\Delta MEF}}=\dfrac{1}{2}MO\,.\,2OE$

$\to {{S}_{\Delta MEF}}=MO.OE$

$\to {{S}_{\Delta MEF}}=OA\,.\,ME$

Mà $OA=R\,\,\left( =const \right)$

Vì vậy để ${{S}_{\Delta MEF}}$ nhỏ nhất thì $ME$ phải nhỏ nhất

Ta có $ME=MA+AE$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

$\,\,\,\,\,\,\,MA+AE\ge 2\sqrt{MA.AE}$

$\to ME\ge 2\sqrt{{{R}^{2}}}$

$\to ME\ge 2R$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $MA=AE$

$\to M$ là trung điểm $AE$

$\Delta MOE$ vuông tại $O$

Có $OA$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

$\to \Delta MOE$ vuông cân tại $O$

$\to \widehat{OME}=45{}^\circ $

$\Delta MAO$ vuông tại $A$

$\to \sin \widehat{OME}=\dfrac{OA}{OM}$

$\to OM=OA.\sin \widehat{OME}$

$\to OM=R\,.\,\sin 45{}^\circ $

$\to OM=R\sqrt{2}$

Kết luận:

Điểm $M$ nằm trên đường tròn bán kính $OM=R\sqrt{2}$ thì ${{S}_{\Delta MEF}}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Hay ta có thể ghi điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( O\,;\,R\sqrt{2} \right)$ thì ${{S}_{\Delta MEF}}$ đạt giá trị nhỏ nhất

`a)` $MA=8cm;OA=R=6cm$

$MA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$

`=>MA`$\perp OA$

`=>∆OAM` vuông tại $A$

`=>OM^2=OA^2+MA^2` (định lý Pytago)

`=>OM^2=6^2+8^2=100`

`=>OM=10cm`

$\\$

$MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$

`=>MA=MB`

Mà $OA=OB=R$

`=>OM` là đường trung trực của $AB$

Vì $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$

`=>OM`$\perp AB$ tại $H$

`=>AH`$\perp OM$

$\\$

$∆OAM$ vuông tại $A$ có $AH\perp OM$

`=>AH.OM=MA.OA` (hệ thức lượng)

`=>AH={MA.OA}/{OM}={8.6}/{10}=4,8cm`

Vậy $AH=4,8cm$

$\\$

`b)` $∆OAM$ vuông tại $A$ có $AH\perp OM$

`=>AH^2=MH.OH` (hệ thức lượng) $(1)$

$∆OAK$ vuông tại $O$ có $OH\perp AK$

`=>OH^2=HK.HA` (hệ thức lượng)

Mà $OM$ là đường trung trực $AB$ (câu a)

`=>OM`$\perp AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$

`=>HA=HB`

`=>OH^2=HK.HB` $(2)$

Từ `(1);(2)` suy ra:

`\qquad MH.OH+HK.HB`

`=AH^2+OH^2=OA^2=R^2` (định lý Pytago do $∆OAH$ vuông tại $H$)

Vậy `MH.OH+HK.HB=R^2` (đpcm)

$\\$

`c)` Sửa đề: đường thẳng vuông góc $OM$ tại $O$ cắt $MA$ tại $E$ và cắt $MB$ tại $F$.

Ta có:

$OM$ là trung trực $AB$ (câu a)

Mà $EF$//$AB$ (cùng $\perp OM$)

`=>OM` là đường trung trực `EF`

`=>OE=OF`

$\\$

$∆OEM$ vuông tại $O$ có đường cao $OA$

`=>1/{OA^2}=1/{OM^2}+1/{OE^2}` (hệ thức lượng)

`=>1/{R^2}=1/{OM^2}+1/{OE^2}\ge 2\sqrt{1/{OM^2}. 1/{OE^2}}=2/{OM.OE}\ \text{(bất đẳng thức Cosi)}`

`=>OM.OE\ge 2R^2`

$\\$

Vì `S_{∆OME}=1/ 2 OM.OE`

`=>2S_{∆OME}=2. 1/ 2 OM.OE=OM.OE\ge 2R^2`

$\\$

Ta có:

`\qquad S_{∆MEF}=1/ 2 OM.EF=1/ 2 OM.2OE`

`=>S_{∆MEF}=OM.OE\ge 2R^2`

`=>S_{∆MEF}` nhỏ nhất bằng `2R^2` khi:

`OM=OE=R\sqrt{2}`

`=>M` thuộc đường tròn $(O;R\sqrt{2})$ thì diện tích $∆MEF$ có giá trị nhỏ nhất.