Nhận xét $x^2-8x+20=(x-4)^2+4\ge 4>0$.

Vậy để cho bất phương trình đúng với mọi x thì $mx^2+2(m+1)x+9m+4<0$ với mọi x

Để cho bất phương trình đúng với mọi x thì ta xét hai trường hợp

$\left\{ \begin{gathered}   m = 0 \hfill \\   2(m + 1) = 0 \hfill \\   9m + 4 < 0 \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   m = 0 \hfill \\   m =  - 1 \hfill \\   m < \frac{{ - 4}}{9} \hfill \\  \end{gathered}  \right.(L)$

Trường hợp $m\ne 0$. Bất phương trình trở thành bất phương trình bậc hai

Để cho bất phương trình có nghiệm với mọi x thì 

$\left\{ \begin{gathered}   m < 0 \hfill \\   \Delta ' < 0 \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   m < 0 \hfill \\   {(m + 1)^2} - m(9m + 4) < 0 \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   m < 0 \hfill \\    - 8{m^2} - 2m + 1 < 0 \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   m < 0 \hfill \\   \left[ \begin{gathered}   m <  - \frac{1}{2} \hfill \\   m > \frac{1}{4} \hfill \\  \end{gathered}  \right. \hfill \\  \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow m <  - \frac{1}{2}$

Vậy $m<-\dfrac{1}{2}$ thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Ta có $x^2-8x+20=(x-4)^2+4>0$

Để $\dfrac{x^2-8x+20}{mx^2+2(m+1)x+9m+4}<0\forall x$:

$mx^2+2(m+1)x+9m+4<0\forall x$

- Xét $m=0$:

$2x+13<0\forall x$ (loại)

- Xét $m\ne 0$

ĐK: $a=m<0, \Delta'<0$

$\Delta'=(m+1)^2-m(9m+4)=m^2+2m+1-9m^2-4m=-8m^2-2m+1=-8(m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{4})<0$

$\Leftrightarrow (m+\dfrac{1}{2})(m-\dfrac{1}{4})>0$

$\Leftrightarrow m<-\dfrac{-1}{2}$ hoặc $m>\dfrac{1}{4}$

Vậy $m<-\dfrac{1}{2}$