b,

Kẻ $AH\bot SB$

$BC\bot (SAB)\to BC\bot AH$

Suy ra $AH\bot (SBC)$

$\to (AB,(SBC))=(AB,BH)=(AB,SB)$

$\Delta SAB$ vuông tại $A$ ($SA\bot(ABC)\to SA\bot AB$) có:

$\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\sqrt3$

$\to \widehat{SBA}=60^o$

Vậy $(AB,(SBC))=60^o$

b,

$\Delta ABC$ vuông cân tại $B$

$\to AC=a\sqrt2$

$\Delta SAC$ vuông tại $A$ có:

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt5$

$\vec{SC}.\vec{AB}=\vec{AB}(\vec{SA}+\vec{AC})=\vec{AB}.\vec{SA}+\vec{AB}.\vec{AC}=\vec{AB}.\vec{AC}$

$= a.a\sqrt2\cos45^o=a^2$

$\to \cos(\vec{SC},\vec{AB})=\dfrac{a^2}{a.a\sqrt5}=\dfrac{1}{\sqrt5}$

Vậy $(SC,AB))=\arccos\dfrac{1}{\sqrt5}$

d,

Kẻ $MN//SA$

$SA\bot AB\to MN\bot AB$

Kẻ $MQ//BC$

$BC\bot AB\to MQ\bot AB$

$\to AB\bot(MNQ)$

Suy ra $(\alpha)$ là $(MNQ)$

Kẻ $NP//BC$

$\to (MNQ)\cap (SBC)=NP$ vì $MQ//BC$

$BC\bot (SAB)\to (SAB)\bot(ABC)$

Mà $(SAB)\cap (ABC)=AB, NM\bot AB$

Suy ra $MN\bot (ABC)$

$\to MN\bot MQ$

$(MNPQ)\bot AB\to PQ\bot AB$

Mà $AB\bot SA$ nên $PQ//SA$

Mà $MN//SA$ nên $PQ//MN$

Tứ giác $MNPQ$ có $NP//MQ$, $MN//PQ$, $\widehat{NMQ}=90^o$

Vậy thiết diện là hình chữ nhật $MNPQ$

$MN//BC\to \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MQ}{BC}$

$\to MQ=x$

$MN//SA\to \dfrac{NM}{SA}=\dfrac{BM}{AB}$

$\to NM=a\sqrt3.\dfrac{ a-x}{a}=\sqrt3(a-x)$

$\to S_{MNPQ}=- \sqrt3.x(x- a)=-\sqrt3x^2+a\sqrt3 x$