Đáp án:

a) $\Delta ABC$ cân tại $A\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{array}\right.$

$\Delta ABC$ có đường trung tuyến $AI$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BI=CI$.

Xét hai tam giác $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AB=AC\,\rm(cmt)\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\rm\,(cmt)\\BI=CI\,\rm(cmt)\end{array}\right\}\Delta ABI=\Delta ACI\,\rm(c\!-\!g\!-\!c)$

b) $\Delta ABI=\Delta ACI\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{BIC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{BIC}=180^\circ$ (kề bù) nên:

$\widehat{AIB}=\widehat{BIC}=\dfrac{180^\circ}2=90^\circ$

$\Rightarrow AI\,\bot\,BC$.

c) $BM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ ứng với cạnh $AC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AM=CM$.

Mà $AM+CM=AC=8cm$

Nên $AM=CM=\dfrac{AC}2=\dfrac82=4cm$.

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{MIC}$ (đồng vị) mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Nên $\widehat{MIC}=\widehat{ACB}$.

Vì $\!\!\left.\begin{array}{l}I\in BC\\M\in MC\end{array}\right\}\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{MCI}$

Mà $\widehat{MIC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{MIC}=\widehat{MCI}$

$\Rightarrow\Delta MIC$ cân tại $M\Rightarrow IM=CM$

Mà $CM=4cm$ nên $IM=4cm$.