Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Xét tứ giác ACBD ta có: OA=OB=OC=OD=R. Do đó: Tứ giác ACBD là hình chữ nhật.

b) Vì MN là tiếp tuyến đường tròn tại A nênBA⊥MN ⇒ ∠MAB=∠BAN=90 độ

Δ ABM(∠MAB=90độ) có AC⊥BM (vì AC⊥BM, tính chất hình chữ nhật) nên theo quan hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền ta có: AB²=BC.BM (*)

Tương tự, ΔABN(∠BAN=90độ) có AD⊥BN nên AB²=BD.BN (**)

Từ (*) và (**) suy ra: BC.BM=BD.BN (=AB²) (đpcm)

c) Vì ∠DBC=90độ (tính chất hình chữ nhật) nên ΔBMN vuông tại B, mà BA⊥MN nên theo hệ thức lượng (2) trong tam giác vuông ta có: AB²=AN.AM ⇒ AN.AM=(2R)²=4R²

Áp đụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương AN và AM ta được:

AN+AM ≥ 2√(AN.AM) =2√(4R²)=2.2R = 4R ⇒ MN ≥ 4R

Vậy MN có GTNN là 4R đạt được khi AN=AM

⇒ AN=AM=MN/2=4R/2=2R=AB

Vì AM=AB nên Δ ABM cân tại A. Khi đó: AC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra: C là trung điểm BM ⇒ BC=BM/2 (1)

Tương tự: ΔABN cân tại A (AN=AB) có BD=BN/2 (2)

Ta lại có: BA vuông góc MN tại trung điểm A của MN. Do đó:

BA là đường trung trực của MN. Suy ra: BM=BN (3) (tính chất điểm thuộc đường trung trực)

Từ (1), (2), (3) suy ra: BC=BD. Do đó: ΔBDC vuông cân tại B. 

Khi đó: BO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao ⇒ BO⊥CD ⇒ AB⊥CD

VẬY: CD⊥AB thì MN có độ dài nhỏ nhất và GTNN là 4R