a)

Vì $MA,MC$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{MCO}=\widehat{MAO}=90{}^\circ $

$\to \widehat{MCO}+\widehat{MAO}=180{}^\circ $

$\to AMCO$ nội tiếp

Có $\widehat{ADB}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\to AD\bot MB$ tại $D$

Có $MA=MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Có $OA=OC=R$

$\to OM$ là đường trung trực của $AC$

$\to OM\bot AC$ tại $E$

Tứ giác $AMDE$ có $\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=90{}^\circ $

$\to AMDE$ nội tiếp

b)

Có $\widehat{ADE}=\widehat{AME}$ (vì $AMDE$ nội tiếp)

Có $\widehat{AME}=\widehat{ACO}$ (vì $AMCO$ nội tiếp)

$\to \widehat{ADE}=\widehat{ACO}$

c)

Gọi $F$ là giao điểm $AM$ và $BC$

Gọi $G$ là giao điểm $MB$ và $CH$

Ta có $MA=MC$

$\to \Delta MAC$ cân tại $M$

$\to \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

Mà $\widehat{MAC}+\widehat{MFC}=90{}^\circ $   ;   $\widehat{MCA}+\widehat{MCF}=90{}^\circ $

$\to \widehat{MFC}=\widehat{MCF}$

$\to \Delta MFC$ cân tại $M$

$\to MF=MC$

$\to MF=MA$

Theo hệ quả của định lý Ta-let:

Xét $\Delta BMF$ có $GC//MF\to \dfrac{GC}{MF}=\dfrac{BG}{BM}$

Xét $\Delta BMA$ có $GH//MA\to \dfrac{GH}{MA}=\dfrac{BG}{BM}$

$\to \dfrac{GC}{MF}=\dfrac{GH}{MA}$

Mà $MF=MA\left( cmt \right)$

$\to GC=GH$

$\to G$ là trung điểm của $CH$

Vậy $MB$ đi qua trung điểm $G$ của $CH$