Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AIM,\Delta AIN$ có:

$\widehat{IAM}=\widehat{AIN}$ vì $IN//AB$

Chung $AI$

$\widehat{AIM}=\widehat{IAN}$ vì $IM//AC$

$\to \Delta AIM=\Delta IAN(g.c.g)$

$\to AM=IN, AN=IM$

Xét $\Delta OAM,\Delta OCI$ có:

$OA=OI$ vì $O$ là trung điểm $MN$

$\widehat{OAM}=\widehat{OIN}$ vì $IN//AB$

$AM=IN$

$\to \Delta OAM=\Delta OIN(c.g.c)$

$\to \widehat{AOM}=\widehat{NOI}$

$\to M, O, N$ thẳng hàng

b.Kẻ $AE//BC$

Vì $MH\perp BC\to EA\perp ME$

Ta có: $AE//HD, AD//HE(\perp BC)$

Tương tự câu a chứng minh được $AE=HD, AD=HE$

Xét $\Delta AME,\Delta INK$ có:

$\widehat{AEM}=\widehat{NKI}(=90^o)$

$AM=NI$

$\widehat{EAM}=\widehat{ABC}=\widehat{NIC}$ vì $NI//AB, AE//BC$

$\to \Delta AME=\Delta INK$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to ME=NK$

$\to MH+NK=MH+ME=HE=AD$

c.Ta có: $MH//NK(\perp BC)$

Để $MN//BC\to MN//HK$

Ta có: $MN//HK, MH//NK$

$\to MN=HK, MH=NK$ (Tính chất đoạn chắn)

Mà $NK=ME$

$\to MH=ME\to M$ là trung điểm $HE$

Xét $\Delta MAE,\Delta BHM$ có:

$\widehat{AME}=\widehat{BMH}$

$ME=MH$

$\widehat{MEA}=\widehat{MHB}$

$\to \Delta MAE=\Delta MBH(g.c.g)$

$\to MA=MB\to M$ là trung điểm $AB$

$\to IN=MA=MB$

Xét $\Delta IMN,\Delta IMB$ có:

Chung $MI$

$\widehat{IMN}=\widehat{MIB}$ vì $MN//BC$

$NI=MB$

$\to \Delta MNI=\Delta BIM(c.g.c)$

$\to MN=BI$

Xét $\Delta NIM,\Delta INC$ có:

$\widehat{MNI}=\widehat{MIC}$ vì $MN//BC$

Chung $NI$

$\widehat{MIN}=\widehat{INC}$ vì $IM//AC$

$\to \Delta MNI=\Delta CIN(g.c.g)$

$\to IC=MN$

$\to IC=IB(=MN)$

$\to I$ là trung điểm $BC$