$\\$`a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)sqrt(ab+bc+ac)` $\\$`<=>(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)>=(a+b+c)sqrt(ab+bc+ac)` $\\$`<=>(a+b+c)^2-(a+b+c)sqrt(ab+bc+ac)-2(sqrt(ab+bc+ac))^2>=0` (1) $\\$ Đặt `a+b+c=x; sqrt(ab+bc+ac)=y(x,y>0`)` $\\$ (1)`<=>x^2-xy-2y^2>=0<=>(x-2y)(x+y)>=0`

$\\$ Vì `x+y>0=>x-2y>=0<=>x>=2y<=>a+b+c>=2sqrt(ab+bc+ac)` $\\$`<=>(a+b+c)^2>=4(ab+bc+ac)<=>a^2+b^2+c^2>=2(ab+bc+ac)` (2) $\\$Lại có: `P=a(a-2b+2)+b(b-2c+2)+c(c-2a+2)+1/(abc)` $\\$`<=>P=(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)+1/(abc)` $\\$ Kết hợp với (2) `=>P>=2(ab+bc+ac)-2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)+1/(abc)` $\\$`<=>P>=2(a+b=c)+1/(abc)` $\\$ Từ (2) ta có: `a^2-2a(b+c)+(b+c)^2>=2(ab+bc+ac)-2a(b+c)+2bc` $\\$ `<=> (a-b-c)^2>=4bc`

$\\$ `(a-b-c)^2-4bc>=0<=>(a-b-c-2sqrt(bc))(a-b-c+2sqrt(bc))>=0<=>[a-(sqrtb+sqrtc)^2](a-b-c+2sqrt(bc))>=0` $\\$Khống mất tính tổng quát $\\$ Giả sử `a>=b>=c`, ta có:`a-b-c+2sqrt(bc)>=-c+2c=c>0` $\\$`=>[a-(sqrtb+sqrtc)^2]>=0<=>a>=(sqrtb+sqrtc)^2>=4sqrt(bc)` (áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số `sqrtb; sqrtc` ) $\\$ Ta có: `P>=2(a+b+c)+1/(abc)=a+a+2(b+c)+1/(abc)` $\\$ Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 4 số `a;a;2(b+c);1/(abc)` ta có:

$\\$`P>=4\root[4]{(a^2 .2(b+c))/(abc)}>=4\root[4]{(a.2.2sqrt(bc))/(bc)}`áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số `b; c)` $\\$`<=>P>=4\root[4]{(4sqrt(bc).4sqrt(bc))/(bc)}=4.\root[4]{16}=4.2=8` $\\$ Dấu '=' sảy ra khi `a=2;b=c=1/2` $\\$Vậy GTNN của `P=8` khi `a=2;b=c=1/2`