Giải thích các bước giải:

Bài 1:

a.Ta có $BD,CE$ là đường cao $\Delta ABC$

$\to BD\perp AC, CE\perp AB$

$\to\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o$

$\to  AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o$

$\to BCDE$ nội tiếp
$\to \widehat{ADE}=\widehat{ABC},\widehat{AED}=\widehat{ACB}$

$\to\Delta ADE\sim\Delta ABC(g.g)$

c.Từ câu b

$\to \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\cos\widehat{BAD}=\cos A=\cos60^o=\dfrac12$

d.Gọi $At$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to At\perp AO$

Mặt khác $\widehat{tAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AED}$

$\to At//DE$

Vì $At\perp AO\to DE\perp AO$

Bài 2:

a.Ta có $\widehat{DMC}=\widehat{DAC}=90^o, \widehat{CME}=\widehat{CBE}=90^o$

$\to ACMD, BCME$ nội tiếp

b.Vì $ACMD, BCME$ nội tiếp

$\to \widehat{CDM}=\widehat{CAM},\widehat{CEM}=\widehat{CBM}$

$\to \widehat{CDE}=\widehat{MAB},\widehat{CED}=\widehat{ABM}$

$\to \Delta CDE\sim\Delta MAB(g.g)$

$\to \widehat{DCE}=\widehat{AMB}$

Mà $BA$ là đường kính của $(O)\to \widehat{AMB}=90^o$

$\to \widehat{DCE}=90^o$

$\to CD\perp CE$

Ta có:

$\widehat{DAM}+\widehat{EBM}=\widehat{DCM}+\widehat{MCE}=\widehat{DCE}=90^o$

c.Ta có $\widehat{AMB}=\widehat{DCE}=90^o$

$\to \widehat{PCQ}=\widehat{PMQ}=90^o$

$\to MPCQ$ nội tiếp đường tròn đường kính $PQ$

$\to \widehat{MQP}=\widehat{MCP}=\widehat{MCD}=\widehat{MAD}=\widehat{MBA}$ vì $AD$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to PQ//AB$

d.Ta có $PQ//AB$

$\to$Để $APQC$ là hình bình hành

$\to CQ//AM$

Mà $CD\perp CE\to CQ\perp CD$

$\to CD\perp AM$

$\to \Delta CAP$ vuông tại $P$

$\to C\in AB$ và $\widehat{PCA}=90^o-\widehat{PAC}=90^o-\widehat{MAC}=\widehat{MAD}=\widehat{MCD}$

$\to CP$ là phân giác $\wdiehat{MCA}$

$\to \Delta MAC$ cân tại $C$

$\to C$ là giao trung trực của $AM$ và $AB$

$\to C\equiv O$