`\hat{C}=100°`

`a)` $∆ABC$ cân tại $C$

`=>\hat{ABC}=\hat{BAC}={180°-\hat{ACB}}/2`

`={180°-100°}/2=40°`

+) $BD$ là phân giác `\hat{ABC}` (gt)

`=>\hat{ABD}=\hat{CBD}=1/ 2 \hat{ABC}=1/ 2 .40°=20°`

+) $BK$ là phân giác `\hat{CBD}` (gt)

`=>\hat{DBK}=\hat{CBK}=1/ 2 \hat{CBD}=1/ 2 .20°=10°`

+) `\hat{ABN}=\hat{ABD}+\hat{DBK}=20°+10°=30°`

Mà `\hat{BAN}=30°` (gt)

`=>\hat{ABN}=\hat{BAN}`

`=>∆ABN` cân tại $N$

`=>BN=AN`

$\\$

+) Xét $∆BCN$ và $∆ACN$ có:

`CN` là cạnh chung

`BC=AC` (do $∆ABC$ cân tại $C$)

`BN=AN` (c/m trên)

`=>∆BCN=∆ACN` (c-c-c)

`=>\hat{BCN}=\hat{ACN}` (hai góc tương ứng)

Mà tia $CN$ nằm giữa hai tia $CB$ và $CA$

`=>CN` là phân giác `\hat{ACB}`

`=>\hat{BCN}=1/ 2 \hat{ACB}=1/ 2 .100°=50°`

$\\$

+) `\hat{AMD}` là góc ngoài $∆ABM$

`=>\hat{AMD}=\hat{ABM}+\hat{BAM}=20°+30°=50°`

`=>\hat{AMD}=\hat{BCN}`

Mà `\hat{AMD}=\hat{BMN}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\hat{BMN}=\hat{BCN}`

$\\$

Áp dụng tính chất tổng $3$ góc trong tam giác $180°$

+) Xét $∆BMN$ có:

`\hat{BMN}+\hat{BNM}+\hat{MBN}=180°`

+) Xét $∆BCN$ có:

`\hat{BCN}+\hat{BNC}+\hat{CBN}=180°`

Mà `\hat{BMN}=\hat{BCN}` (c/m trên)

`\qquad \hat{MBN}=\hat{CBN}` (do $BK$ là phân giác `\hat{CBD}`)

`=>\hat{BNM}=\hat{BNC}`

$\\$

+) Xét $∆BNM$ và $∆BNC$ có:

`\hat{MBN}=\hat{CBN}`

`BN` là cạnh chung 

`\hat{BNM}=\hat{BNC}` (c/m trên)

`=>∆BNM=∆BNC` (g-c-g)

`=>MN=CN` (hai cạnh tương ứng)

`=>∆CMN` cân tại $N$

$\\$

Ta có:

`\hat{CEA}` là góc ngoài $∆ABE$

`=>\hat{CEA}=\hat{ABE}+\hat{BAE}=40°+30°=70°`

`=>\hat{CEN}=70°`

`\hat{CNM}` là góc ngoài $∆CEN$

`=>\hat{CNM}=\hat{CEN}+\hat{ECN}=70°+50°=120°`

$\\$

+) $∆CMN$ cân tại $N$

`=>\hat{CMN}=\hat{MCN}={180°-\hat{CNM}}/2={180°-120°}/2=30°`

$\\$

Ta có:

`\hat{BAM}+\hat{MAC}=\hat{BAC}=40°` 

`=>\hat{MAC}=40°-\hat{BAM}=40°-30°=10°`

`\hat{CMN}` là góc ngoài $∆ACM$

`=>\hat{CMN}=30°=\hat{MAC}+\hat{ACM}`

`=>\hat{ACM}=30°-\hat{MAC}=30°-10°=20°`

Vậy `\hat{ACM}=20°`

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{CNE}+\hat{CNM}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{CNE}=180°-\hat{CNM}=180°-120°=60°`

Xét $∆CEN$ có:

`\hat{CEN}=70°` (câu a)

`\hat{CNE}=60°`

`=>\hat{CEN}>\hat{CNE}`

`=>CN>CE` (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Mà $∆CMN$ cân tại $N$ (câu a)

`=>MN=CN`

`=>MN>CE`

Vậy `MN>CE`