Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{cases}SA\perp (ABC)\quad (gt)\\BH\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow SA\perp BH$

b) Ta có:

$ΔABC$ đều $(gt)$

$H$ là trung điểm $AC\quad (gt)$

$\Rightarrow BH\perp AC$

Lại có: $BH\perp SA\quad$ (câu a)

$\Rightarrow BH\perp (SAC)$

c) Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với $SC$

Từ $H$ kẻ $HI\perp SC\quad (I\in SC)$

Bên cạnh đó:

$BH \perp (SAC)\quad $ (câu b)

$\Rightarrow BH\perp SC$

Do đó:

$SC\perp (BIH)$

$\Rightarrow (BIH)\subset (\alpha)$

$\Rightarrow ΔBIH$ là thiết diện cần tìm

d) Xét $ΔIHC$ và $ΔASC$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{I} = \widehat{A} = 90^\circ\\\widehat{C}:\,chung\end{array}\right\}$

Do đó: $ΔIHC \sim ΔASC\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IH}{SA} = \dfrac{HC}{SC}$

$\Rightarrow IH = \dfrac{HC}{SC}\cdot SA = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{\sqrt{SA^2 + AC^2}}\cdot SA$

$\Rightarrow IH =  \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\sqrt{4a^2 + a^2}}\cdot 2a$

$\Rightarrow IH = \dfrac{a\sqrt5}{5}$

Bên cạnh đó:

$ΔABC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow BH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$BH\perp (SAC)\quad$ (câu b)

$\Rightarrow BH\perp IH$

$\Rightarrow ΔBIH$ vuông tại $H$

Do đó:

$S_{BIH} = \dfrac12BH\cdot IH$

$\Rightarrow S_{BIH} = \dfrac12\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt5}{5}$

$\Rightarrow S_{BIH} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{20}$