Đáp án:

a) $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BDE}$

$\!\!\left.\begin{array}{l}\widehat{ABD}=\widehat{BDE}\rm\,(cmt)\\BD\rm\ là\ cạnh\ chung\end{array}\right\}\Delta ABD=\Delta EBD\rm\,(ch-gn)$

b) $\Delta ABD=\Delta EBD\Rightarrow AB=BE$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow\Delta ABE$ cân tại $B$ có đường phân giác $BD$.

Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác đó.

Vậy $BD$ là đường trung trực của $AE$.

c) $\Delta ABD=\Delta EBD\Rightarrow AD=DE$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác vuông $\Delta DEC$ vuông tại $E$.

$\Rightarrow DC$ là cạnh huyền và $DE$ là cạnh góc vuông.

$\Rightarrow DE<DC$ (cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông).

Mà $AD=DE\Rightarrow AD<DC$.

d) Xét hai tam giác vuông $\Delta ADF$ và $\Delta DEC$ có:

$\!\!\left.\begin{array}{l}AF=CE\rm\,(gt)\\\widehat{DAF}=\widehat{DEC}=90^\circ\\AD=DE\rm\,(cmt)\end{array}\!\!\right\}\Delta ADF=\Delta DEC\,\rm(c\!-\!g\!-\!c)$

$\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ (hai góc tương ứng).

Ta vẽ $BD$ cắt $CF$ tại $G\Rightarrow D\in BG$

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực $\Rightarrow BG$ là đường trung trực.

$\Rightarrow BG$ đồng thời là đường cao của $\Delta BCF$.

$AC\,\bot\, BF\Rightarrow AC$ là đường cao của $\Delta BCF$.

$BG$ và $AC$ là đường cao mà $BG\cap AC=D$

$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\Delta BCF$.

Đường cao của một hình tam giác luôn nối với đỉnh ứng với cạnh đáy qua trực tâm.

$\Rightarrow EF$ là đường cao của $\Delta BCF$

$\Rightarrow EF$ đi qua trực tâm $D$

$\Rightarrow D\in EF\Rightarrow E$, $D$, $F$ thẳng hàng.