`m^2(x^4-1)+ m(x^2-1)-6(x-1)<0` vô nghiệm

`<=>m^2(x-1)(x+1)(x^2+1)+m(x-1)(x+1)-6(x-1)<0`

`<=>(x-1)[m^2(x+1)(x^2+1)+m(x+1)-6)]<0`

`<=>(x-1)(m^2x^3+m^2x^2+2xm^2+m^2+mx+m-6)<0`

để bất phương trình vô nghiệm 

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}(x-1)^2(ax^2+bx+c)(1)   \\(x-1)^4(2) \end{array} \right.\) 

trong đó `ax^2+bx+c>=0`

 `=>x=1`

`<=>4m^2+2m-6=0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m= \dfrac{-3}{2}\end{array} \right.\) 

với `m=1`

`=>x^3+x^2+2x-4=0`

`<=>(x-1)(x^2+2x+4)`

`(1)<=>(x-1)^2(x^2+2x+4)`

thấy `x^2+2x+4>0 AA x`

`=>` nhận `m=1`

với `m=-3/2`

`=>9/4x^3+9/4x^2+9/2x+9/4-3/2x-3/2-6=0`

`<=>9/4x^3+9/4x^2+3x-21/4=0`

`=>` không thỏa mãn đk `=>`loại 

`=>m=1`

vậy `m=1`

Chuyển yêu cầu bài toán về ${m^2}\left( {{x^4} - 1} \right) + m\left( {{x^2} - 1} \right) - 6\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0$ có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} {m^2}\left( {{x^4} - 1} \right) + m\left( {{x^2} - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) \ge 0\\  \Leftrightarrow {m^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + m\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) \ge 0\\  \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{m^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) + m\left( {x + 1} \right) - 6} \right] \ge 0\\  \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{m^2}{x^3} + {m^2}{x^2} + \left( {{m^2} + m} \right)x + {m^2} + m - 6} \right] \ge 0 \end{array}$

Để bất phương trình luôn có nghiệm với mọi $x$ thì ta chia thành 2 trường hợp:

$m^2x^3+m^2x^2+(m^2+m)x+m^2+m-6=0$ có nghiệm đúng với mọi $x$ để bất phương trình ban đầu thành $0\ge 0$ nên bất phương trình đúng với mọi $x$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} = 0\\ {m^2} + m = 0\\ {m^2} + m - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = 0\\ \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m =  - 1 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} m =  - 2\\ m = 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\left( L \right)$

Trường hợp 2: Đa thức $m^2x^3+m^2x^2+(m^2+m)x+m^2+m-6=0$ có nghiệm đa bội lẻ là $x=1$

Khi đó ta được: 

$ m^2 + m^2 + m^2 + m + m^2 + m - 6 = 0\\  \Leftrightarrow 4{m^2} + 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = 1\\ m =  - \dfrac{3}{2}$

Thử lại với $m=1$ thì `(x-1)(x^3+x^2+2x-4)>= 0<=>(x-2)^2(x^2+2x+4)>=0` luôn đúng

Với `m=-3/2` thì `(x-1)(9/4x^3+9/4x^2+3/4x-21/4)>=0`

$\Leftrightarrow (x-1)(3x^3+3x^2+x-7)\Leftrightarrow (x-1)^2(3x^2+6x+7)\ge 0$ luôn đúng

Do đó `m=1, m=-3/2` thỏa mãn.