Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔABC` có: 

`AB^2+AC^2=9^2+12^2=225`

`BC^2=225`

`=> AB^2+AC^2=BC^2`

`=> ΔABC` vuông tại `A` (định lý pytago đảo)

Xét `ΔABC` có: `AB<AC<BC `

`=> \hat{ACB}<\hat{ABC}<\hat{BAC}` (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một `Δ`)

b) `ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC => BD⊥AC`

Xét `ΔABC` và `ΔADC` có:

`\hat{BAC}=\hat{DAC}=90^0 (BD⊥AC)`

`AC`: cạnh chung

`AB=AD` (gt)

`=> ΔABC=ΔADC` (c.g.c) `=> BC=CD`

`=> ΔDBC` cân tại `C`

c) Xét `ΔDBC` có:

`CA` là đường trung tuyến `(AB=AD)`

`DK` là đường trung tuyến (`K` là trung điểm của `BC`)

`DK` cắt `CA` tại `M`

`=> M` là trọng tâm `ΔDBC`

`=> CM=2/3 CA=2/3 . 12 = 8cm`

d) Xét `ΔAIN` và `ΔCIN` có:

`\hat{ANI}=\hat{CNI}=90^0 (IN⊥AC)`

`AN=NC (N` là trung điểm của `AC)`

`NI`: cạnh chung

`=> ΔAIN=ΔCIN` (c.g.c)

`=> AI=CI; \hat{IAN}=\hat{ICN}`

Ta có: `\hat{DAI}+\hat{IAN}=\hat{DAC}=90^0`

           `\hat{ADI}+\hat{ICN}=90^0 (ΔADC` vuông tại `A) `

            `\hat{IAN}=\hat{ICN}`

`=> \hat{DAI}=\hat{DAI} => ΔDAI` cân tại `I => AI=DI`

mà `AI=CI => DI=CI => I` là trung điểm của `CD`

`=> BI` là đường trung tuyến của `ΔDBC `

lại có `M` là trọng tâm `ΔDBC`

`=> M∈BI => B, M, I` thẳng hàng