$a)AFHE$ có $E$ và $F$ cùng nhìn $AH$ dưới 1 góc $90^o$

$\Rightarrow AFHE$ nội tiếp đường tròn

$BCEF$ có $E$ và $F$ cùng nhìn $BC$ dưới 1 góc $90^o$

$\Rightarrow BCEF$ nội tiếp đường tròn

$b)H$ là giao điểm 2 đường cao $BE,CF$ của $\Delta ABC$

$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow AH \perp BC$

$c)BFHD$ có $D$ và $F$ cùng nhìn $BH$ dưới 1 góc $90^o$

$\Rightarrow BFHD$ nội tiếp đường tròn

$\Rightarrow \widehat{FBH}=\widehat{FDH}(1)$

$ABDE$ có $D$ và $E$ cùng nhìn $AB$ dưới 1 góc $90^o$

$\Rightarrow ABDE$ nội tiếp đường tròn

$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ADE}(1)\Leftrightarrow \widehat{FBH}=\widehat{ADE}(2)\\ (1)(2)\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{ADE}$ $\Rightarrow DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$

$d)$Chứng minh tương tự câu $c$

$\Rightarrow EH$ là phân giác của $\widehat{FED}$

Mà $DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$

$\Rightarrow H$  tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$