`a)` Ta có:

`AB=1/ 2 BC` (gt)

`BD=1/ 2 BC` (gt)

`=>AB=BD`

`=>∆ABD` cân tại $B$ 

$\\$

`b)` Vì `BD=1/ 2 BC` và `B;D;C` thẳng hàng

`=>D` là trung điểm $BC$

`=>BD=CD`

$\\$

`\qquad BE=1/ 2 BD` và $B;E;D$ thẳng hàng

`=>E` là trung điểm $BD$

`=>DE=BE=1/ 2 BD`

$\\$

Xét $∆DEF$ và $∆BEA$ có:

`EF=EA` (gt)

`\hat{DEF}=\hat{BEA}` (hai góc đối đỉnh)

`DE=BE` (c/m trên)

`=>∆DEF=∆BEA` (c-g-c)

`=>\hat{DFE}=\hat{BAE}` (hai góc tương ứng)

Mà `\hat{DFE}` và `\hat{BAE}` ở vị trí so le trong 

`=>FD`//$AB$ (đpcm)

$\\$

`c)` Ta có:

`CE=CD+DE=CD+1/ 2 BD`

`CE=CD+1/ 2 CD=3/ 2 CD`

`=>CD=2/ 3 CE` $(1)$

Vì $EA=EF$ (gt) và $A;E;F$ thẳng hàng 

`=>E` là trung điểm $AF$

`=>CE` là trung tuyến $∆ACF$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>D` là trọng tâm $∆ACF$

$\\$

Gọi $M$ là giao điểm của $FD$ và $AC$

`=>FM` là trung tuyến $∆ACF$

Do $D$ là trọng tâm $∆ACF$ `=>FD=2DM` $(3)$

$\\$

Ta có: $FD=AB$ (vì $∆DEF=∆BEA$ đã c/m)

Mà $AB=BD=CD$ 

`=>FD=CD` $(4)$

$\\$

$D$ là trọng tâm $∆ACF$

`=>CD=2DE` $(5)$

Từ `(3);(4);(5)=>DE=DM`

$\\$

Xét $∆DEF$ và $∆DMC$ có:

$DE=DM$ (c/m trên)

`\hat{EDF}=\hat{MDC}` (hai góc đối đỉnh)

`FD=CD` (c/m trên)

`=>∆DEF=∆DMC` (c-g-c)

`=>EF=MC` (hai cạnh tương ứng)

Mà $EF=AE$ (gt)

`=>AE=MC` $(6)$

$\\$

$FM$ là trung tuyến $∆ACF$ 

`=>M` là trung điểm $AC$

`=>MC=1/ 2 AC` $(7)$

$\\$

Từ `(6);(7)=>AE=1/ 2 AC` (đpcm)

Chữ hơi xấu bạn thông cảm: