Đáp án:

$m \ge \dfrac{1}{2}.$

Giải thích các bước giải:

$-x^2+(2m-1)x+4m+2>0 \forall \ x \in (-1;2)\\ \Leftrightarrow x^2-(2m-1)x-4m-2<0 \forall \ x \in (-1;2) (1)$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

$\Delta>0\\ \Leftrightarrow (2m-1)^2+4(4m+2) >0\\ \Leftrightarrow 4 m^2 + 12 m + 9>0\\ \Leftrightarrow (2 m + 3)^2>0\\ \Leftrightarrow m \ne -\dfrac{3}{2}\\ Vi-et: x_1+x_2=2m-1\\ x_1x_2=-4m-2\\  (1) \Rightarrow x_1 \le -1 <2 \le x_2\\ (\text{Trong khoảng 2 nghiệm dấu phương trình bậc 2 trái dấu hệ số a})\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1 \le -1 <  x_2 \\ x_1 <2 \le x_2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} (x_1+1)(x_2+1) \le 0\\ (x_1-2)(x_2-2) \le 0 \\ x_1 \ne x_2 (\text{Luôn đúng khi phương trình có hai nghiệm phân biệt})\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1x_2+x_1+x_2+1 \le 0  \\ x_1x_2-2(x_1+x_2)+4 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -4m-2+2m-1+1 \le 0  \\ -4m-2-2(2m-1)+4 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -2 m - 2 \le 0 \\ 4 - 8 m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -2 m  \le 2   \\ 8 m \ge 4 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m  \ge -1 \\  m \ge \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow m \ge \dfrac{1}{2}.$