a)

Ta có $\widehat{AEB}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\to AE\bot EB$

Xét tứ giác $BEHI$ có $\widehat{BEH}=\widehat{BIH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{BEH}+\widehat{BIH}=180{}^\circ $

$\to BEHI$ là tứ giác nội tiếp

b)

Ta có $\widehat{EAC}=\widehat{EDC}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\to EA\bot AC$ và $ED\bot DC$

Xét $\Delta MEC$ có hai đường cao $EA,CD$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm của $\Delta MEC$

$\to MH\bot CE$

c)

Xét $\Delta AIH$ và $\Delta AEB$, ta có:

+   $\widehat{HAI}$ là góc chung

+   $\widehat{AIH}=\widehat{AEB}=90{}^\circ $

$\to \Delta AIH\backsim\Delta AEB\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH.AE=AI.AB$

$\to AH.AE=\dfrac{1}{3}AB\cdot AB$

$\to AH.AE=\dfrac{1}{3}A{{B}^{2}}$

$\to AH.AE=\dfrac{1}{3}\cdot {{\left( 2R \right)}^{2}}$

$\to AH.AE=\dfrac{4{{R}^{2}}}{3}$