a)

$\Delta ABC$ vuông tại $C$

$\to \widehat{A}+\widehat{B}=90{}^\circ $

$\to \widehat{B}=90{}^\circ -\widehat{A}$

$\to \widehat{B}=90{}^\circ -60{}^\circ $

$\to \widehat{B}=30{}^\circ $

Vậy trong $\Delta ABC$:

$\widehat{B}\,\,<\,\,\widehat{A}\,\,<\,\,\widehat{C}\,\,\,\left( \,\,30{}^\circ \,\,<\,\,60{}^\circ \,\,<\,\,90{}^\circ \,\, \right)$

b)

Xét $\Delta ACE$ vuông tại $C$ và $\Delta AKE$ vuông tại $K$, ta có:

$AE$ là cạnh chung

$\widehat{CAE}=\widehat{KAE}$ ( Vì $AE$ là tia phân giác $\widehat{CAK}$ )

$\to \Delta ACE=\Delta AKE$ ( canh huyền – góc nhọn )

$\to AC=AK$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to \Delta ACK$ cân tại $A$

Có $CE$ là đường phân giác

Nên $CE$ cũng là đường trung trực

Vậy $AE\bot CK$

c)

$AE$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$

$\to \widehat{EAB}=\frac{\widehat{CAB}}{2}=\frac{60{}^\circ }{2}=30{}^\circ $

$\to \widehat{EAB}=\widehat{EBA}=30{}^\circ $

$\to \Delta EAB$ cân tại $E$

$\to EA=EB$

$\Delta ACE$ vuông tại $C$

$\to $ cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông

$\to EA\,\,>\,\,AC$

$\to EB\,\,>\,\,AC$

Kéo dài $AC$ cắt $BD$ tại $F$

$\Delta ACK$ cân tại $A$ ( cmt )

Có $\widehat{CAK}=60{}^\circ $

Nên $\Delta ACK$ là tam giác đều

$\to \widehat{ACK}=\widehat{AKC}=60{}^\circ $

Mặt khác:

$AE\bot CK\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$AE\bot BF$ ( gt )

$\to CK\,\,||\,\,BF$

$\to\begin{cases}\widehat{ACK}=\widehat{AFB}=60{}^\circ\\\\\widehat{AKC}=\widehat{ABF}=60{}^\circ\end{cases}$

$\to \Delta AFB$ là tam giác đều

Có $BC,AD$ là hai đường cao

Nên $BC,AD$ cũng là đường trung tuyến

$\to\begin{cases}FD=\dfrac{1}{2}FB\\\\FC=\dfrac{1}{2}FA\end{cases}$

Mà $FA=FB$ ( Vì $\Delta FAB$ là tam giác đều )

$\to FD=FC$

Xét $\Delta FCE$ vuông tại $C$ và $\Delta FDE$ vuông tại $D$, ta có:

$FE$ là cạnh chung

$FC=FD\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta FCE=\Delta FDE$ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )

$\to \widehat{CFE}=\widehat{DFE}$ ( hai góc tương ứng )

$\to FE$ là tia phân giác $\widehat{AFB}$

$\Delta EAB$ cân tại $E$ ( cmt )

Có $EK$ là đường cao

Nên cũng là đường trung tuyến

$\to K$ là trung điểm $AB$

$\Delta FAB$ là tam giác đều

Có $FK$ là đường trung tuyến

Nên $FK$ đồng thời cũng là đường phân giác

$\to FK$ là tia phân giác $\widehat{AFB}$

Mà $FE$ là tia phân giác $\widehat{AFB}$ ( cmt )

Nên $FK\equiv FE$

$\to 3$ điểm$F,E,K$ thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng $AC,BD,KE$ đồng quy tại $F$