a)

$\Delta AMB$ và $\Delta ANB$ lần lượt nội tiếp đườn tròn tâm $O$ đường kính $AB$

$\to \widehat{AMB}=\widehat{ANB}=90{}^\circ $

$\to\begin{cases}AN\bot SB\\\\BM\bot SA\end{cases}$

Xét $\Delta SAB$ có hai đường cao $BM,AN$ giao nhau tại $H$

Nên $SH$ là đường cao thứ ba

$\to SH\bot AB$

b)

Xét tứ giác $SMHN$, ta có:

$\widehat{SMH}=90{}^\circ $

$\widehat{SNH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{SMH}+\widehat{SNH}=180{}^\circ $

$\to SMHN$ là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180{}^\circ $ )

$\to $ tâm $I$ là trung điểm cạnh $SH$

$\to $ 4 điểm $S,M,H,N$ cùng thuộc một đường tròn tâm $I$

c)

$\Delta SMH$ vuông tại $M$

Có $MI$ là đường trung tuyến (  Vì $I$ là trung điểm $SH$ )

$\to IM=IS$

$\to IMS$ cân tại $I$

$\to \widehat{ISM}=\widehat{IMS}$

Mà:

$\begin{cases}\widehat{ISM}=\widehat{OBM}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ góc SAB }\right)\\\\\widehat{OBM}=\widehat{OMB}\,\,\,\left(\text{ tam giác OBM cân }\right)\end{cases}$

Nên $\widehat{IMS}=\widehat{OMB}$

Mà $\widehat{IMS}+\widehat{IMH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{OMB}+\widehat{IMH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{OMI}=90{}^\circ $

$\to OM\bot MI$

$\to MI$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $I$

d)

Xét $\Delta SAN$ và $\Delta SBM$, ta có:

$\widehat{ASB}$ là góc chung

$\widehat{SNA}=\widehat{SMB}=90{}^\circ $

$\to \Delta SAN\sim\Delta SBM\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{SN}{SM}$

$\to SM.SA=SN.SB$

e)

Kẻ $SH$ cắt $AB$ tại $D$

$\to SH\bot AB$ tại $D$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ADS$, ta có:

$\widehat{SAD}$ là góc chung

$\widehat{AMB}=\widehat{ADS}=90{}^\circ $

$\to \Delta AMB\sim\Delta ADS\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AB}{AS}$

$\to AS.AM=AB.AD\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta BNA$ và $\Delta BDS$, ta có:

$\widehat{SBA}$ là góc chung

$\widehat{BNA}=\widehat{BDS}=90{}^\circ $

$\to \Delta BNA\sim\Delta BDS\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BD}{BS}$

$\to BN.BS=BA.BD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được:

$\,\,\,\,\,\,AS.AM+BN.BS=AB.AD+BA.BD$

$\to AS.AB+BN.BS=AB\left( AD+BD \right)$

$\to AS.AM+BN.BS=AB.AB$

$\to AS.AM+BN.BS=A{{B}^{2}}$

a,

$\widehat{AMB}=\widehat{ANB}=90^o$ do nội tiếp chắn cung căng đường kính $AB$.

$\to BM\bot SA=M, AN\bot SB=N$

$BM\cap AN=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta SAB$

$\to SH\bot AB$

b,

$\widehat{SMN}=180^o-\widehat{AMB}=90^o$

$\widehat{SNH}=180^o-\widehat{ANB}=90^o$

Tứ giác $SMHN$ có $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=90^o$

$\to M, N$ nhìn đoạn $SH$ dưới góc vuông.

$\to M, N, S, H$ thuộc đường tròn đường kính $SH$

Vậy $I$ là trung điểm $SH$

c,

$\Delta IMH$ cân tại $I$ do $MI=\dfrac{1}{2}SH=IH$

$\widehat{IMO}=\widehat{IMH}+\widehat{OMB}$

$=\widehat{IMH}+\widehat{OBM}$

$=\widehat{IMH}+\widehat{MNH}$

$=\widehat{IHM}+\widehat{MSH}$ 

$=180^o-\widehat{SMH}=90^o$

$\to OM\bot MI$

Vậy $OM$ là tiếp tuyến $(I;IH)$

d,

$\Delta SNA$ và $\Delta SMB$ có:

$\widehat{ASB}$ chung 

$\widehat{SNA}=\widehat{SMB}=90^o$

$\to \Delta SNA\backsim\Delta SMB$ (g.g)

$\to \dfrac{SN}{SA}=\dfrac{SM}{SB}$

$\to SA.SM=SN.SB$