Đáp án:

Câu 6: $\sqrt{2020x-2019}+2019x+2019=\sqrt{2019x-2020}$ không có giá trị của x thỏa mãn phương trình đã cho.

Câu 6: $x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y$
$P_{Max}=5$ $\Leftrightarrow x=y=3$

Câu 5: $T=\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2+x+2}$

$ T_{Min}=2\sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra $x=0$

Giải thích các bước giải:

Câu 6: $\sqrt{2020x-2019}+2019x+2019=\sqrt{2019x-2020}$
Đk: $x\ge\dfrac{2020}{2019}$
Phương trình tương đương:
$2019x+2019=\sqrt{2019x-2020}-\sqrt{2020x-2019}$
Do $VT>0$ $\forall x\ge\dfrac{2020}{2019}$
Nên $VP>0\Leftrightarrow \sqrt{2019x-2020}-\sqrt{2020x-2019}>0$
$\Leftrightarrow \sqrt{2019x-2020}>\sqrt{2020x-2019}$ (2 vế đều $\ge0$)
Bình phương 2 vế ta được:
$2019x-2020>2020x-2019\Leftrightarrow x<-1$ không thỏa mãn điều kiện
Vậy không có giá trị của x thỏa mãn phương trình đã cho.

Câu 6: Ta có $x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y$ (1)
Đk: $x,y\ge-6$
Phương trình tương đương:
$x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}$
$\Rightarrow (x+y)^2=x+6+y+6+2\sqrt{x+6}\sqrt{y+6}$
$\Rightarrow (x+y)^2-(x+y)-12=2\sqrt{x+6}\sqrt{y+6}$
Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
$2\sqrt{x+6}\sqrt{y+6}\le x+6+y+6$
$\Rightarrow P^2-P-12\le P+12$
$\Rightarrow P^2-2P+1\le25$
$(P-1)^2\le25\Rightarrow -5\le P\le5$
Do đó $P_{Max}=5$ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}\Leftrightarrow x=y$
Phương trình (1) tương đương $2x=2\sqrt{x+6}$
$\Rightarrow x=\sqrt{x+6}$ $(x\ge0)$
$\Rightarrow x^2=x+6\Rightarrow x=3$ (thỏa mãn) hoặc $x=-2$ (loại)
Vậy $P_{Max}=5$ $\Leftrightarrow x=y=3$

Câu 5:

$T=\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2+x+2}$

$\rightarrow 2T=2\sqrt{x^2-x+2}+2\sqrt{x^2+x+2}$

$\rightarrow 2T=\sqrt{4x^2-4x+8}+\sqrt{4x^2+4x+8}$

$\rightarrow 2T=\sqrt{(1-2x)^2+7}+\sqrt{(1+2x)^2+7}$

$\rightarrow 2T\ge\sqrt{(1-2x+1+2x)^2+(\sqrt{7}+\sqrt{7})^2}$

$\rightarrow 2T\ge\sqrt{4+28}$

$\rightarrow 2T\ge 4\sqrt{2}$

$\rightarrow T\ge 2\sqrt{2}$

Dấu = xảy ra $\rightarrow \dfrac{1-2x}{\sqrt{7}}=\dfrac{1+2x}{\sqrt{7}}\rightarrow x=0$