Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a)`

Ta có:

`M = 5 + 5^2 + 5^3 +....+ 5^2021`

`M = (5+5^2) +....+ (5^2019+5^2020) + 5^2021`

`M = 5.(1+5) +....+ 5^2019.(1+5) + 5^2020.5`

`M = 5.6 +...+ 5^2019 . 6 + (5^4)^505 . 5`

`M = 6.(5+...+5^2019) + 625^505 . 5`

Do `625 : 6` dư `1`

`=> 625^505 : 6` dư `1^505 = 1`

`=> 625^505 . 5 : 6` dư `1 . 5 = 5`

Mà `6.(5+...+5^2019) \vdots 6`

`=> 6.(5+...+5^2019) + 625^505 . 5 : 6` dư `5`

Hay `M : 6` dư `5`

Vậy số dư khi chia `M` cho `6` là `5`

`b)`

$\bullet$

Do:

`5 \vdots 5` 

`5^2 \vdots 5` 

`5^3 \vdots 5` 

`\vdots`

`5^2021 \vdots 5` 

`=> M = 5 + 5^2 + 5^3 +....+ 5^2021 \vdots 5  (1)`

$\bullet$

Do:

`5 \cancel{vdots} 25` 

`5^2 \vdots 25` 

`5^3 \vdots 25` 

`\vdots`

`5^2021 \vdots 25` 

`=> M = 5 + 5^2 + 5^3 +....+ 5^2021 \cancel{vdots} 25  (1)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> M` không phải là số chính phương

`@Jong`

a) M=(5+$5^{2}$)+($5^{3}$+$5^{4}$)+...+($5^{2020}$+$5^{2021}$)

M= 5.(1+5)+$5^{3}$.(1+5)+...+$5^{2020}$.(1+5)

M=(1+5).(5+$5^{3}$+...+$5^{2020}$)

M=6.(5+$5^{3}$+...+$5^{2020}$)6

Vậy M chia 6 dư 0

b) Ta thấy : M = 5+$5^{2}$+$5^{3}$+...+$5^{2021}$ chia hết cho số nguyên tố 5

Mặt khác, do: $5^{2}$+$5^{3}$+...+$5^{2021}$ chia hết cho $5^{2}$ (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho $5^{2}$)

=> M = 5+$5^{2}$+$5^{3}$+...+$5^{2021}$  không chia hết cho $5^{2}$ (do 5 không chia hết cho $5^{2}$)

=> M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho $5^{2}$

=> M không phải số chính phương

~~~~~~~~~~Chúc bạn học tốt~~~~~~~~~~~~