Câu 1:

a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}={{15}^{2}}-{{9}^{2}}$

$\to A{{C}^{2}}=144$

$\to AC=12cm$

Vậy $AB<AC<BC\,\,\,\left( 9cm<12cm<15cm \right)$

$\to \widehat{C}<\widehat{B}<\widehat{A}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

b)

Xét $\Delta CAB$ và $\Delta CAD$, ta có:

+   $CA$ là cạnh chung

+   $\widehat{CAB}=\widehat{CAD}=90{}^\circ $

+   $AB=AD$ (vì $A$ là trung điểm $BD$)

$\to \Delta CAB=\Delta CAD\left( c.g.c \right)$

$\to CB=CD$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta BCD$ cân tại $C$

c)

Xét $\Delta BCD$ có hai đường trung tuyến $CA,BE$ cắt nhau tại $I$

$\to I$ là trọng tâm của $\Delta BCD$

$\to DI$ đi qua trung điểm $BC$

Câu 2:

a)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ và $\Delta HBD$ vuông tại $H$, ta có:

+   $BD$ là cạnh chung

+   $\widehat{ABD}=\widehat{HBD}$ (vì $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$)

$\to \Delta ABD=\Delta HBD\left( ch-gn \right)$

$\to AD=HD$ (hai cạnh tương ứng)

b)

Có $AD=HD\left( cmt \right)$

Mà $HD<DC$ (vì $\Delta DHC$ vuông tại $H$)

$\to AD<DC$

c)

Xét $\Delta BAC$ vuông tại $A$ và $\Delta BHK$ vuông tại $H$, ta có:

+   $\widehat{ABC}$ là góc chung

+   $BA=BH$ (vì $\Delta ABD=\Delta HBD$)

$\to \Delta BAC=\Delta BHK\left( cgv-gn \right)$

$\to BC=BK$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta KBC$ cân tại $B$