Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a. Vì IQ ⊥ BC mà Q là trung điểm của BC

⇒⇒ IQ là đường trung trực của BC

⇒⇒ BI=CI

Vì IP ⊥ AD mà P là trung điểm của AD

⇒⇒ IP là đường trung trực của AD

⇒⇒ AI=DI

Xét ΔAIB và ΔDIC có:

AI=DI (cmt)

BI=CI (cmt)

AB=DC (giả thiết)

⇒⇒ ΔAIB = ΔDIC (c.c.c) (đpcm)

b. Vì ΔAIB = ΔDIC⇒ˆIAB=ˆIDC⇒IAB^=IDC^ (hai góc tương ứng) 

mà ˆIDC=ˆIACIDC^=IAC^ ( vì tam giác IAD cân tại I)

⇒ˆIAB=ˆIAC⇒IAB^=IAC^ 

⇒⇒ AI là tia phân giác của góc BAC (đpcm)

c. Xét ΔAIE và ΔAIP có

ˆAEI=ˆAPI=90oAEI^=API^=90o

AI chung

ˆIAE=ˆIAPIAE^=IAP^ ( vì AI là tia phân giác góc A)

⇒⇒ ΔAIE = ΔAIP (cạnh huyền - góc nhọn )

⇒⇒ AE=AP (hai cạnh tương ứng)

mà AP=AD2 (Vì P là trung điểm AD)

⇒AE=AD/2 (đpcm)

Đáp án:

a)Xét tam giác AMC và DMB ta có:

AM = DM (giả thiết)

(widehat {AMC} = widehat {DMB})   (hai góc đối đỉnh)

MC = MB (M là trung điểm của BC)

Do đó: (eqalign{  & Delta AMC = Delta DMB(c.g.c)  cr  &  Rightarrow widehat {ACM} = widehat {MBD} cr} )

Mà hai góc ACM và MBD so le trong nên AC // BD.

Ta có: (BA bot AC(Delta ABC)  vuông tại A)

AC // BD (chứng minh trên)

(Rightarrow CD bot AC)

Vậy tam giác ACE vuông tại C.

Ta có: tam giác ACE vuông tại C có: CA = CE (giả thiết)

Do đó: tam giác ACE vuông cân tại C.

b) Gọi N là giao điểm của AB và EF.

Ta có: EF // AC (gt), (AB bot AC(widehat {BAC} = {90^0}) Rightarrow AB bot EF)

Xét tam giác NAE vuông tại N và tam giác CEA vuông tại C có:

AE là cạnh chung.

(widehat {AEN} = widehat {EAC})   (so le trong và EF // AC)

Do đó: (Delta NAE = Delta CEA)  (cạnh huyền – góc nhọn) => AN = CE.

Ta có: AN = CA (= CE).

Xét tam giác NFA và ABC có:

(widehat {FNA} = widehat {BAC}( = {90^0}))

AN = CA

(widehat {NAF} = widehat {ACB})   (cùng phụ với góc HAC)

Do đó: (Delta NFA = Delta ABC(g.c.g))  . Vậy AF = BC.

Giải thích các bước giải: