Sửa đề: $\Delta ABC$ phải cân tại $A$

a)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ADC$, ta có:

+   $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

+   $AD$ là cạnh chung

+   $DB=DC$ (vì $D$ là trung điểm $BC$)

$\to \Delta ADB=\Delta ADC\left( c.c.c \right)$

b)

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ và $\Delta AKD$ vuông tại $K$, ta có:

+   $AD$ là cạnh chung

+   $\widehat{HAD}=\widehat{KAD}$ (vì $\Delta ADB=\Delta ADC$)

$\to \Delta AHD=\Delta AKD\left( ch-gn \right)$

$\to DH=DK$ (hai cạnh tương ứng)

c)

Gọi $G$ là giao điểm $AD$ và $HK$

Xét $\Delta DGH$ và $\Delta DGK$, ta có:

+   $DG$ là cạnh chung

+   $\widehat{HDG}=\widehat{KDG}$ (vì $\Delta AHD=\Delta AKD$)

+   $DH=DK\left( cmt \right)$

$\to \Delta DGH=\Delta DGK\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{DGH}=\widehat{DGK}$ và $GH=GK$

Mà $\widehat{DGH}+\widehat{DGK}=180{}^\circ $

$\to \widehat{DGH}=\widehat{DGK}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AD\bot HK$ tại $G$ là trung điểm $HK$

d)

Gọi $F$ là giao điểm $AK$ và $HP$

Xét $\Delta FAP$ và $\Delta FKH$, ta có:

+   $AP=HK\left( gt \right)$

+   $\widehat{FAP}=\widehat{FKH}$ (hai góc so le trong)

+   $\widehat{FPA}=\widehat{FHK}$ (hai góc so le trong)

$\to \Delta FAP=\Delta FKH\left( g.c.g \right)$

$\to FA=FK$

$\to F$ là trung điểm $AK$

Xét $\Delta AHK$ có hai đường trung tuyến $AG,HF$ cắt nhau tại $I$

$\to I$ là trọng tâm của $\Delta AHK$

$\to KI$ đi qua trung điểm của $AH$

Mà $E$ là trung điểm $AH$

$\to K,I,E$ thẳng hàng