Bài 4:

a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}=25$

$\to BC=5cm$

b)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ và $\Delta MBD$ vuông tại $M$, ta có:

+   $BD$ là cạnh chung

+   $\widehat{ABD}=\widehat{MBD}$ (vì $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$)

$\to \Delta ABD=\Delta MBD\left( ch-gn \right)$

$\to DA=DM$ (hai cạnh tương ứng)

c)

Xét $\Delta ADN$ vuông tại $A$ và $\Delta MDC$ vuông tại $M$, ta có:

+   $DA=DM\left( cmt \right)$

+   $\widehat{ADN}=\widehat{MDC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta ADN=\Delta MDC\left( cgv-gn \right)$

$\to DN=DC$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta NDC$ cân tại $D$

d)

Ta có:

+   $BA=BM$ (vì $\Delta ABD=\Delta MBD$)

+   $AN=MC$ (vì $\Delta ADN=\Delta MDC$)

$\to BN=BC$

$\to \Delta BNC$ cân tại $B$

Có $BD$ là đường phân giác

$\to BD$ cũng là đường trung tuyến

Mà $G$ là trọng tâm của $\Delta BNC$

$\to B,D,G$ thẳng hàng

Bài 5:

$\,\,\,\,\,\,3{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{y}^{4}}+2{{y}^{2}}$

$=\left( 3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)+\left( 2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{y}^{4}} \right)+2{{y}^{2}}$

$=3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2{{y}^{2}}$

$=3{{x}^{2}}.2+2{{y}^{2}}.2+2{{y}^{2}}$

$=6{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+2{{y}^{2}}$

$=6{{x}^{2}}+6{{y}^{2}}$

$=6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$

$=6.2$

$=12$