`a)`

`+` Vì `AD` là phân giác của $\widehat{BAC}$

`=>` $\widehat{BAD}$`=`$\widehat{DAC}$

`+` Xét `(O)` có :

$\widehat{BAM}$ là góc nội tiếp chắn cung `BM`

$\widehat{MAC}$ là góc nội tiếp chắn cung `MC`

Mà $\widehat{BAM}$  `=`$\widehat{MAC}$`(cmt)`

`=>` $\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}$ `=` $\mathop{MC}\limits^{\displaystyle\frown}$

`=>` `M` là điểm chính giữa $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$

`=>` `OM` $\bot$ `BC`

`b)`

`+` Vì `Ak` là phân giác góc ngoài tại `A`;`AD` là phân giác góc trong tại `A`

`=>` $\widehat{KAD}$ `=` $90^\circ$

`=>` $\widehat{MAN}$ `=` $90^\circ$ (kề bù)

`=>`  `A` $\in$ đường tròn đường kính `NM`
          Mà `AM`$\in$ `(O)`

`=>` `MN` là  đường kính

`=>` `3` điểm `M,O,N`thẳng hàng `(đpcm)`

a) Xét $ΔBOC$, có:

$OB=OC=R$

→$ΔBOC$ cân tại $O$

Có: sđ`\hat{BOC}`$=$ sđ $\overparen{BC}$(1)

Xét $ΔABC$, có:

`\hat{BAM}`$=$`\hat{CAM}`$=$`1/2``\hat{BAC}`

→$\overparen{BM}$$=$$\overparen{MC}$

Mà $\overparen{BM}$$+$$\overparen{MC}$$=$$\overparen{BC}$(2)

Lại có:

sđ`\hat{BOM}`$=$ sđ $\overparen{BM}$

sđ`\hat{MOC}`$=$ sđ $\overparen{MC}$

Từ (2) →sđ`\hat{BOM}`$=$ sđ`\hat{MOC}`(3)

Từ (1) và (3)→$OM$ là tia phân giác của `\hat{BOC}`

Mà $ΔBOC$ cân tại $O$

⇒$OM$ là trung trực của BC

⇒$OM⊥BC$

b) Ta có: Gọi $AF$ là tia phân giác của góc ngoài đỉnh A:

Ta có: `\hat{GAF}`$+$`\hat{FAC}`$+$`\hat{CAM}`$+$`\hat{MAB}`$=$`180^@`

Mà: `\hat{BAM}`$=$`\hat{CAM}`

`\hat{GAF}`$=$`\hat{FAC}`

→`\hat{GAF}`$+$`\hat{BAC}`$=$`\hat{FAC}`$+$`\hat{CAM}`$=$`180/2`$=$`90^@`

`\hat{FAC}`$+$`\hat{CAM}`$=$`\hat{NAM}`$=$`90^@`

Xét $ΔNCM$, có:

$ON=OM=OCR$

→$ΔNCM$ vuông

→`\hat{NCM}`$=$`90^@`

Xét tứ giác ANCM, có:

`\hat{NCM}`$=$`90^@`(cmt)

`\hat{NAM}`$=$`90^@`(cmt)

→`\hat{NAM}`$+$`\hat{NCM}`$=$`180^@`

→Tứ giác ANCM nội tiếp

→MN là đường kính

⇒M, O, N thẳng hàng