Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABM, \Delta KBM$ có:

$BA=BK$

$\widehat{ABM}=\widehat{KBM}$ vì $BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$

Chung $BM$

$\to \Delta ABM=\Delta KBM(c.g.c)$

b.Từ câu a $\to MA=MK, \widehat{MKB}=\widehat{MAB}=90^o\to MK\perp BC$

Xét $\Delta MAE, \Delta MKC$ có:

$\widehat{EAM}=\widehat{MKC}=90^o$ vì $MK\perp BC$

$MA=MK$

$\widehat{AME}=\widehat{KMC}$

$\to \Delta MAE=\Delta MKC(g.c.g)$

$\to ME=MC$

$\to \Delta MEC$ cân tại $M$

c.Từ câu b $\to AE=CK$

$\to BE=BA+AE=BK+CK=BC$

$\to \Delta BCE$ cân tại $B$

Mà $\widehat{EBC}=\widehat{ABC}=90^o-\widehat{ACB}=90^o-30^o=60^o$

$\to \Delta BCE$ đều

d.Ta có $\Delta EBC$ đều, $EK\perp BC\to EK$ là phân giác $\widehat{BEC}$

Xét $\Delta EAH, \Delta ENH$ có:

$\widehat{AEH}=\widehat{HEN}$ vì $EK$ là phân giác $\widehat{BEC}$

Chung $EH$

$\widehat{AHE}=\widehat{EHN}$ vì $AH\perp EM$

$\to \Delta AHE=\Delta NHE(g.c.g)$

$\to EA=EN$

Mà $\widehat{AEN}=\widehat{BEC}=60^o\to \Delta EAN$ đều

Mà $EH\perp AN\to EH$ là trung trực của $AN$

Do $M\in EH\to MN=MA$

Mà $MA=MK\to MN=MK$

Ta có $\Delta BCE$ đều, $BN\perp EC, CA\perp BE, EK\perp BC$

$\to BN, CA, EK$ là trung trực của $EC, BE, BC$

$\to A, K, N$ là trung điểm $BE, BC, CE$

Mà $BC=CE=EB$

$\to EA=AB=BK=KC=CN=NE$

$\to CN=CK$

Ta có $MN=MK, CN=CK$

$\to M, C\in$ trung trực của $KN$

$\to MC$ là trung trực $KN$

$\to MC\perp KN$

$\to AC\perp KN$