Tham khảo

 `a)` Để `A` là phân số `⇔2x-1\ne0⇔2x\ne1⇔x\ne\frac{1}{2}`

`b)` Để `A ∈ZZ`

`⇔(2x+5)-(2x-1) \vdots 2x-1`

`⇔2x+5-2x+1 \vdots 2x-1`

`⇔6 \vdots 2x-1`

`⇔2x-1∈Ư(6)={±1,±2,±3,±6}`

Vì `x∈ZZ ,2x-1` luôn là số lẻ

`⇒2x-1∈{±1,±3}`

Ta có bảng:

$\left[\begin{array}{ccc}2x-1&1&-1&3&-3\\x&1&0&2&-1\\\end{array}\right]$

Vậy `x∈{1,9,2-1}`

`c)` Có `A=\frac{2x+5}{2x-1}=\frac{2x-1+6}{2x-1}=1+\frac{6}{2x-1}`

Để `A` có giá trị lớn nhất `⇔2x-1` là số nguyên dương bé nhất

`⇔2x-1=1`

`⇔2x=2`

`⇔x=1`

Để `A` có giá trị bé nhất `⇔2x-1` là số nguyên âm lớn nhất

`⇔2x-1=-1`

`⇔2x=0`

`⇔x=0`

`d)` Gọi `a` là `ƯCLN(2x+5,2x-1)`

Xét hiệu:

`⇔(2x+5)-(2x-1) \vdots a`

`⇔2x+5-2x+1 \vdots a`

`⇔6 \vdots a`

`⇔a∈Ư(6)={±1,±2,±3,±6}`

Vì `a` là nguyên tố`⇒a∈{±2,±3}`

Mà `2x+5,2x-1` luôn là số lẻ sẽ không chia hết `2`

Vậy `A` là phân số tối giản`⇔a \ne ±3`

Đáp án:

Tham khảo

Giải thích các bước giải:

`a)`

`A` là phân số khi `2x-1 ne 0`

`-> x ne 1/2`

`b)`

`A=(2x+5)/(2x-1)=(2x-1+6)/(2x-1)=1+6/(2x-1)`

Để `A` nguyên thì `6 vdots 2x-1`

`-> 2x-1 in Ư(6)`

`-> 2x -1 in {+-6;+-3;+-2;+-1}`

Ta có bảng :

$\begin{array}{|c|c|}\hline 2x-1&-6&-3&-2&-1&1&2&3&6\\\hline x&-\dfrac{5}{2}_{(KTM)}&-1_{(TM)}&-\dfrac{1}{2}_{(KTM)}&0_{(TM)}&1_{(TM)}&\dfrac{3}{2}_{(KTM)}&2_{(TM)}&\dfrac{7}{2}_{(KTM)}\\\hline\end{array}$

Vậy `x in {-1;0;1;2}`

`c)`

Ta có : `A=1+6/(2x-1)`

Để `A` lớn nhất thì `6/(2x-1)` lớn nhất

Để `6/(2x-1)` lớn nhất thì `2x-1>0` và `2x-1` nhỏ nhất

`-> 2x-1=1`

`-> 2x=2`

`-> x=1`

`-> A=1+6/(2.1-1)=7`

Vậy `A_(max)=7 <=> x=1`

$\\$

Để `A` lớn nhất

`-> 6/(2x-1)`  lớn nhất

Để `6/(2x-1)`  nhỏ nhất thì `2x-1<0` và `2x-1` lớn nhất

`-> 2x-1=-1`

`-> 2x=0`

`-> x=0`

`-> A=1+6/(2.0-1)=-5`

Vậy `A_(min)=-5 <=> x=0`

`d)`

Gọi `ƯCLN(2x+5;2x-1)=d`

`-> 2x+5 vdots d; 2x-1 vdots d`

`-> 2x+5-(2x-1) vdots d`

`-> 6 vdots d`

`-> d={+-1;+-2;+-3;+-6}`

Mà `d` là số nguyên tố `-> d=2;3`

Để `A` là ps tối giản thì `d ne 2;3`

Ta có :

`2x+5`$ \not{\vdots}$ `2; 2x-1` $ \not{\vdots}$ `2`

`2x+5`$ \not{\vdots}$ `3; 2x-1` $ \not{\vdots}$ `3`