Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi giao điểm của $DH$ và $KF$ là $A$

Ta có: 

 Xét $\Delta DEH$ vuông tại $E$ và $\Delta DIH$ vuông tại $I$, ta có:
$\begin {cases} DH\text{ chung} \\ \widehat{EDH} = \widehat{IDH}(DH \text{ là tia phân giác của } \widehat{EDI}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta DEH = \Delta DIH (ch - gn)$

$\Rightarrow EH = IH$(2 cạnh tương ứng)

Xét $\Delta KEH$ và $\Delta FIH$, ta có:
$\begin {cases} EH = IH (cmt) \\ \widehat{KEH} = \widehat{FIH} = 90^o \\ \widehat{KHE} = \widehat{FHI}(2\text{ góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta KEH = \Delta FIH(g - c - g)$
$\Rightarrow KH = FH$(2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta KHF$ cân tại $H$
$\Rightarrow \widehat{HKF} = \widehat{HFK}$

Ta có: $\Delta DEH = \Delta DIH(cmt)$
$\Rightarrow \widehat{EHD} = \widehat{IHD}$(2 góc tương ứng)

Ta có:

$\begin {cases} \widehat{EHD} = \widehat{IHD}(cmt) \\ \widehat{EHD} = \widehat{FHA}(2\text{ góc đối đỉnh}) \\ \widehat{IHD} = \widehat{AHK}(2\text{ góc đối đỉnh}) \end {cases}$

$\Rightarrow \widehat{FHA} = \widehat{AHK}$
Xét $\Delta AHK$ và $\Delta AHF$, ta có:
$\begin {cases} \widehat{AHK} = \widehat{AHF}(cmt) \\ \widehat{AKH} = \widehat{AFH} (cmt) \\ HK = HF (cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta AHK = \Delta AHF(g - c - g)$
$\Rightarrow \widehat{KAH} = \widehat{FAH}$(2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{KAH} + \widehat{FAH} = 180^o$

$\Rightarrow \widehat{KAH} = \widehat{FAH} = 90^o$

$\Rightarrow DH \bot KF$

xét DFK ta có 

FE là đường cao của DFK ( FEDK )

IK là đường cao của DFK ( IKDF) 

FE cắt IK tại H 

H là trực tâm của DFK

Đường vuông góc từ D qua H đến KF là đường cao của DFK 

DHKF