Đáp án:

a) Xét hai tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $BC=10cm$, $AC=6cm$.

Áp dụng định lý Pytagoras có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2$

$\Rightarrow AB=\sqrt{BC^2-AC^2}$

$\Rightarrow AB=\sqrt{10^2-6^2}$

$\Rightarrow AB=\sqrt{64}$

$\Rightarrow AB=8\,(cm)$

$CM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ ứng với cạnh $AB$

$M$ là trung điểm của $AB\Rightarrow AM=BM$ mà $AM+BM=AB=8cm$ 

Nên $AM=BM=\dfrac{AB}2=\dfrac82=4\,(cm)$

Vậy $AB=8cm$ và $BM=4cm$.

b) $\widehat{BMD}=\widehat{AMC}$ (đối đỉnh).

Xét hai tam giác $\Delta MAC$ và $\Delta MBD$ có:

$\left.\begin{array}{l}AM=BM\,\rm(cmt)\\\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\,\rm(cmt)\\MD=MC\rm\,(gt)\end{array}\right\}\Delta MAC=\Delta MBD\,\rm(c\,g\,c)$

$\Rightarrow AC=BD$ (hai cạnh tương ứng).

c) $MD=MC\Rightarrow MD+MC=MC+MC\Rightarrow CD=2MC$

Xét tam giác $\Delta BCD$ ta có:

$BC+BD>CD$ (tính chất) mà $AC=BD$ và $CD=2MC$ 

$\Rightarrow AC+BC>2MC$

d) $MD=MC\Rightarrow M$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ACD$.
Vì $K\in AM$ mà $AM$ là đường trung tuyến và $AK=\dfrac23AM$
Nên $K$ là trọng tâm của $\Delta ACD$.

$N$ là giao điểm của $CK$ và $AD$ nên $CN$ đi qua trọng tâm $K$

$\Rightarrow CN$ là đường trung tuyến của $\Delta ACD$ ứng với cạnh $AD$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $AD$.

$\Rightarrow BN$ là đường trung tuyến và $MD$ cũng là trung tuyến của $\Delta ABD$

Mà $BN\cap MD=I$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta ABD$
$I$ là trọng tâm của $\Delta ABD\Rightarrow ID=\dfrac23 DM$
$\Rightarrow 2MD=3ID$ (mà $MD=MC$ và $CD=2MC$)

$\Rightarrow CD=3ID$.