`a)` $BE;CF$ là đường cao $∆ABC$

`=>BE`$\perp AC$ tại $E$

`=>\hat{BEC}=90°`

`\qquad CF`$\perp AB$ tại $F$

`=>\hat{BFC}=90°`

`=>`Tứ giác $BFEC$ có $2$ đỉnh kề nhau $F;E$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông

`=>`$BFEC$ nội tiếp hay $4$ điểm $B;F;E;C$ cùng thuộc đường tròn $(O)$ với $O$ là trung điểm $BC$ 

$\\$

`b)` Xét $∆HEA$ và $∆HDB$ có:

`\hat{HEA}=\hat{HDB}=90°`

`\hat{AHE}=\hat{BHD}` (hai góc đối đỉnh)

`=>∆HEA∽∆HDB` (g-g)

`=>{HA}/{HB}={HE}/{HD}`

`=>HE.HB=HD.HA` $(1)$

$\\$

Xét $∆HFA$ và $∆HDC$ có:

`\hat{HFA}=\hat{HDC}=90°`

`\hat{AHF}=\hat{CHD}` (hai góc đối đỉnh)

`=>∆HFA∽∆HDC` (g-g)

`=>{HA}/{HC}={HF}/{HD}`

`=>HD.HA=HF.HC` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)` suy ra:

`HE.HB=HD.HA=HF.HC` (đpcm)

$\\$

`c)` $BFEC$ nội tiếp (câu a)

`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

`\hat{AFC}=\hat{ADC}=90°`

`=>ACDF` nội tiếp 

`=>\hat{BFD}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

$\\$

`=>\hat{AFE}=\hat{BFD}`

Mà: `\hat{AFC}=\hat{BFC}=90°`

`=>\hat{CFE}+\hat{AFE}=\hat{DFC}+\hat{BFD}`

`=>\hat{CFE}=\hat{DFC}`

Vì `\hat{CFE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{EC}` (góc nội tiếp chắn cung $EC$)

`\hat{DFC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{IC}` (góc nội tiếp chắn cung $IC$)

`=>\stackrel\frown{EC}=\stackrel\frown{IC}`

`=>C` là điểm chính giữa cung $EI$

$\\$

Vì $BC$ là đường kính của $(O)$

`=>BC`$\perp EI$ (đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc dây cung)

Vậy $EI\perp BC$ (đpcm)