`GT` : `\triangle ABC` vuông tại `A`

         Đường phân giác `BD`

        `DH bot BC `

         `AK` là tia đối của `AB` ; `AK = CH `

`KL`  `\triangle ABD =``\triangle HBD`

        `BD` là đường trung trực của `AH` ; `AD < DC `

        `H , D , K` thẳng hàng ; `BD bot KC`

         `2(AD + AK ) > CK `

`---------------`

Chứng minh : 

`a)` Có : `\triangle ABC` vuông tại `A` ( gt) 

`=>` `hat{BAC}=hat{BAD}=90^o`

Có : `DH bot BC ` ( gt)

`=>` `hat{BHD }= hat{DHC} = 90^o`

Có : `BD` là đường trung trực của `AH` ; `AD < DC ` ( gt) 

`=>` `hat{B_1} = hat{B_2}`

Xét `\triangle ABD ` và `\triangle HBD` có : 

`+)` `hat{B_1} = hat{B_2}` ( cmt)

`+)` `hat{DHC} = hat{DAB }= 90^o` ( cmt)

`+)` `BD` là cạnh chung 

`=>` `\triangle ABD =``\triangle HBD` ( ch - gn ) 

`b)` Có : `\triangle ABD =``\triangle HBD` ( cmt)

`=>` `AD = DH ` ( `2` cạnh tương ứng ) 

        `AB = BH` ( `2` cạnh tương ứng )  

Có : `AB = BH` ( cmt) `=>``\triangle BAH ` cân tại `B`

Có : `\triangle BAH ` cân tại `B`(cmt)

         Đường phân giác `BD`

`=>` `BD` đồng thời là đường trung trực của `AH` ( tính chất tam giác cân )

`\triangle DHC` vuông tại `H` có : `DC > DH ` ( ch `>` cgv ) ( định lí quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong `1` tam giác )

Mà `DH = AD ` ( cmt)

`=>` `DC > AD `

`c)`

`@ ` Gọi giao điểm của `CK` và `BD` là `O`

  Có : `AB = BH ` ( cmt) 

            `Ak = HC ` ( gt)

`=>` `AB + AK = BH + HC `

`=>` `BK = BC` 

`=>` `\triangle BKC` cân tại `B`

Có : `\triangle BKC` cân tại `B` ( cmt)

       Đường phân giác `BD` ( gt)

`=>` `BD` là đường cao của `\triangle BKC` 

     Và là đường trung tuyến  của `KC` 

`=>`  `hat{O_1} = hat{O_2}=90^o` hay `BD bot CK`

`@`

Có : `\triangle BKC` cân tại `B` ( cmt) 

`=>` `hat{BKC}=hat{BCK}` 

Xét `\triangle ACK ` và `\triangle HCK` có : 

`+)` `AK = CH ` ( gt)

`+)` `hat{BKC}=hat{BCK}`  (cmt) hay `hat{AKC}=hat{ACK}` 

`+)` `KC` là cạnh chung 

`=>` `\triangle ACK =` `\triangle HKC` ( c.g.c)

`=>` `hat{KAC} = hat{KHC} = 90^o` ( `2` góc tương ứng )

mà  `hat{KAC} =  90^o` (cmt)

`=>` `hat{KHC} = 90^o` 

`=>` `KH bot BC`                  `(1)`

Lại có : `DH bot BC ` (gt)          `(2)` 

Từ `(1)` và `(2)`

`=>` `DH` trùng với `KH`

`=>` `D,H,K` thẳng hàng 

`d)` Có : `BD` đường trungtuyến ủa `KC` hay `BO` là đường trung trực của `KC`

`=>` `KO = OC = {CK}/2`

`\triangle DOK` vuông tại `O` có : `KD > KO `  (ch `>` cgv ) ( định lí quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong `1` tam giác )

Mà `AD + AK > KD` ( bất đẳng thức tam giác ) 

`=>` `AD + AK > KO `

`=>` `2 (AD + AK ) > 2KO`

`=>` `2(AD + AK ) > 2 . {CK}/2`

`=>` `2(AD + AK ) > CK ` ( đpcm)