1a) Ta có:

$H$ là tâm của $ΔABC\quad (gt)$

$\to \begin{cases}SH\perp (ABC)\quad \text{(hình chóp đều)}\\CH\perp AB\quad (ΔABC\,\,đều)\end{cases}$

$\to \begin{cases}SH\perp AB\\CH\perp AB\end{cases}$

$\to AB\perp (SCH)$

$\to AB\perp SC$

b) Ta có:

$K$ là trung điểm $AB\quad (gt)$

$\to \begin{cases}SK\perp AB\quad \text{(ΔSAB cân tại S)}\\CK\perp AB\quad \text{(ΔABC đều)}\end{cases}$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAB)\cap (ABC) = AB\\SK \perp AB;\, SK\subset (SAB)\\CK\perp AB;\, SK\subset (ABC)\end{cases}$

$\to \widehat{((SAB);(ABC))} = \widehat{SKC} = \widehat{SKH}$

Xét $ΔSAB$ cân tại $S$ có:

$AK = KB = \dfrac12AB = a$

$SK\perp AB$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$SA^2 = AK^2 + SK^2$

$\to SK = \sqrt{SA^2 - AK^2}$

$\to SK=  \sqrt{9a^2 - a^2}$

$\to SK = 2a\sqrt2$

Xét $ΔABC$ đều cạnh $a$ có tâm $H$

$\to HK = \dfrac13CK = \dfrac{AB\sqrt3}{6} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Do $SH\perp (ABC)$

nên $SH\perp HK$

$\to ΔSHK$ vuông tại $H$

$\to \cos\widehat{SKH} = \dfrac{HK}{SK}$

$\to \cos\widehat{SKH} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{3}}{2a\sqrt3}$

$\to \cos\widehat{SKH} =\dfrac16$

$\to \widehat{SKH} = \arccos\dfrac16 \approx 80,41^\circ$

Vậy $\widehat{((SAB);(ABC))} \approx 80,41^\circ$

c) Ta có:

$SH\perp (ABC)$

$SA\cap (ABC) = \{A\}$

$\to HA$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABC)$

$\to \widehat{(SA;(ABC))} = \widehat{SAH}$

Xét $ΔSAH$ vuông tại $H$ có:

$\cos\widehat{SAH} = \dfrac{HA}{SA}$

$\to \cos\widehat{SAH} = \dfrac{\dfrac{AB\sqrt3}{3}}{SA}$

$\to \cos\widehat{SAH} = \dfrac{\dfrac{2a\sqrt3}{3}}{3a}$

$\to \cos\widehat{SAH} = \dfrac{2}{3\sqrt3}$

$\to \widehat{SAH} \approx 67,36^\circ$

Vậy $\widehat{(SA;(ABC))} \approx 67,36^\circ$

2a) Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\to OM = \dfrac12BC= \dfrac a2$

$\to OM\perp AB$

Ta có:

$S.ABCD$ là hình chóp đều

$\to \begin{cases}SO\perp (ABCD)\\SA = SB = SC = SD\end{cases}$

$\to SM\perp AB$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SM\perp AB;\, SM\subset (SAB)\\OM\perp AB;\, OM\subset (ABCD)\end{cases}$

$\to \widehat{((SAB);(ABCD))} = \widehat{SMO} = 60^\circ$

Do $SO\perp (ABCD)$

nên $SO\perp OM$

$\to ΔSMO$ vuông tại $O$

$\to \tan\widehat{SMO}= \dfrac{SO}{OM}$

$\to SO = OM.\tan\widehat{SMO}$

$\to SO = \dfrac a2\cdot \tan60^\circ$

$\to SO = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

b) Ta có:

$SO\perp (ABCD)$

$SA\cap (ABCD) = \{A\}$

$\to OA$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABCD)$

$\to \widehat{(SA;(ABCD))} = \widehat{SAO}$

Xét hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a:$

$\to OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Xét $ΔSAO$ vuông tại $O$:

$\tan\widehat{SAO} = \dfrac{SO}{OA}$

$\to \tan\widehat{SAO} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}}{\dfrac{a\sqrt2}{2}}$

$\to \tan\widehat{SAO} =\dfrac{\sqrt6}{2}$

$\to \widehat{SAO} \approx 50,77^\circ$

Vậy $ \widehat{(SA;(ABCD))} \approx 50,77^\circ$