a) Vì $ \Delta ABC \bot A \\ \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \\ = {4^2} + {3^2} \\ = 25 \\ \Rightarrow BC = \sqrt {25} = 5(cm) \\ $

Vì $BD$ là tia phân giác của góc $B$

$\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {EBK}$

Xét $\Delta EBA $ và $\Delta EBK$ ,ta có:

$ \widehat {ABE} = \widehat {EBK} \\ \widehat {BE{\text{A}}} = \widehat {BEK}( = {90^ \circ }) \\ $

$BE$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta EBA = \Delta EBK(g - c - g)$

$ \Rightarrow BA = BK$

$\Rightarrow \Delta BAK$ cân tại $B$

b) Xét $\Delta AB{\text{D}} $ và $\Delta KB{\text{D}}$ ,ta có:

$ \widehat {AB{\text{D}}} = \widehat {DBK} \\ AB = BK \\ $

$BD$ là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta AB{\text{D}} = \Delta KB{\text{D(c - g - c)}}$

$ \Rightarrow \widehat {BA{\text{D}}} = \widehat {BK{\text{D}}} = {90^ \circ } \\ \Rightarrow DK \bot BC \\ c)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AH \bot BC} \\ {DK \bot BC} \end{array}} \right. \\ \Rightarrow AH//BK \\ \Rightarrow \widehat {HIK} = \widehat {IK{\text{D}}}(1) \\ \Delta BIA = \Delta BIK(c - g - c) \\ \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {BKI}(2) \\ \widehat {BKI} + \widehat {IK{\text{D}}} = {90^ \circ }(3) \\ \widehat {BAI} + \widehat {IA{\text{D}}} = {90^ \circ }(4) \\ (1)(2)(3)(4) \Rightarrow \widehat {HIK} = \widehat {IA{\text{D}}} \\ \Rightarrow IK//AC \\ \\ $