`a)` `x^2+2(m+1)x+9m-5=0`

Để phương trình trên có `2` nghiệm phân biệt thì `Δ>0`

`->Δ=[2(m+1)]^2-4.1.(9m-5)>0`

`->4(m+1)^2-36m+20>0`

`->4(m^2+2m+1)-36m+20>0`

`->4m^2+8m+4-36m+20>0`

`->4m^2-28m+24>0`

`->4(m^2-7m+6)>0`

`->m^2-7m+6>0`

`->m^2-6m-m+6>0`

`->m(m-6)-(m-6)>0`

`->(m-6)(m-1)>0`

`=>` $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m-6>0\\m-1>0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m-6<0\\m-1<0\end{array} \right.\end{array} \right.$ `<=>`$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m>6\\m>1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m<6\\m<1\end{array} \right.\end{array} \right.$`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m>6\\m<1\end{array} \right.\)  

Mà để phương trình trên có `2` nghiệm âm phân biệt thì: $\begin{cases}Δ>0\\S<0\\P>0\end{cases}$

`+)` Áp dụng hệ thức Vi - ét ta được:

$\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2(m+1)\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=9m-5\end{cases}$ `=>`$\begin{cases}-2(m+1)<0\\9m-5>0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}-2m-2<0\\9m>5\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}m>-1\\m>\dfrac{5}{9}\end{cases}$

Kết hợp với điều kiện ta được: `m>6` thì phương trình trên có `2` nghiệm âm phân biệt.

Giải thích các bước giải:

$x^2+2(m+1)x+9m-5=0$

Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt thì: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta>0\\S<0\\P>0\end{array} \right.$

Xét $\Delta'=b'^2-ac>0$

$⇒(m+1)^2-9m+5>0$

$⇒m^2+2m+1-9m+5>0$

$⇒m^2-7m+6>0$

$⇒(m-1)(m-6)>0$

$⇒\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m-6>0\\m-1>0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m-6<0\\m-1<0\end{array} \right.\end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m>6\\m>1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m<6\\m<1\end{array} \right.\end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l}m>6\\m<1\end{array} \right. $

Áp dụng định lý $\text{Viète}$, ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=-2(m+1)=-2m-2\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=9m-5\end{array} \right. $

Mà để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt thì: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta>0\\S<0\\P>0\end{array} \right.$

$⇒\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m>6\\m<1\end{array} \right.\\-2m-2<0\\9m-5>0\end{array} \right. ⇔\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m>6\\m<1\end{array} \right.\\m>-1\\m>\dfrac{5}{9}\end{array} \right.⇒m>6$

Vậy với $m>6$ thì phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.