`P = \frac{1²-1}{1} + \frac{2²-1}{2²} +...+ \frac{n²-1}{n²}` `<=> P = 1-\frac{1}{1²} + 1-\frac{1}{2²} +1-\frac{1}{3²} +...+1-\frac{1}{n²}`

`<=> P = (n-1)-(\frac{1}{2²} + \frac{1}{3²} + ...+\frac{1}{n})`

Đặt `\frac{1}{2²} + \frac{1}{3²} + ...+\frac{1}{n}=P_{1}`

Ta thấy `P_{1} >0 => (n-1)-P_{1} > 0-(n-1) <=> P > -(n-1) <=> P<n-1`

Mà `P_{1} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +...+ \frac{1}{(n-1).n} = 1-\frac{1}{n}`

`=> P > (n-1)-(1-\frac{1}{n}) = n-2+\frac{1}{n} > n-2` (do `\frac{1}{n}>0`)

`=> n-2<P<n-1` nên P không là số nguyên.

Đề kiểm tra chất lượng HSG toán 8.

Biên soạn: Bình.

Bài 1. (5,5 điểm).

1, Cho biểu thức: \(A=\left(\dfrac{2x-3}{4x^2-12x+5}+\dfrac{2x-8}{13-2x^2-20}+\dfrac{3}{1-2x}\right):\dfrac{21+2x-8x^2}{4x^3+4x^2-3x}+x\)

a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \(A\).

b, Tìm tất cả các giá trị nguyên \(x\) để biểu thức \(A\) nguyên.

2, Xét các số \(x,y,z\) thay đổi thỏa mãn: \(x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)=0\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(M=3x^3-2y^3+z^3-2xyz +xy-3z+1\)

Câu 2. (3,0 điểm).

1, Xét \(a,b,c\) đôi một khác nhau và thay đổi đồng thời thỏa mãn:\(ab+bc+ac=12345\).

Chứng minh:

\(Q=(a^2+2bc-12345)(12345-b^2-2ac)(c^2+2ab-12345)\) là số chính phương.

2, Tính tổng: \(S_n=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{2}{2^3}+...+\dfrac{n}{2^{n+1}}\)

Câu 3. (3,5 điểm).

1, Giải phương trình: \(\dfrac{2x}{2x^2-5x+3}+\dfrac{13x}{2x^2+x+3}=6\)

2, Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: \(x^3+y^3=3xy+8\)

Câu 4. (7,0 điểm).

Cho hình vuông \(ABCD\), trên tia đối \(CD\) lấy điểm \(M\) sao cho \(CM<CD\). Vẽ hình vuông \(CMNP\) sao cho \(P\) nằm giữa \(B,C\). Gọi \(H\) là giao của \(BM\) và \(DP\), gọi \(K,Q\) là giao của \(MP\) với \(BD\) và \(CH\). 

1, Chứng minh: \(DP.DH+MH.MB=DM^2\) và \(PQ.MK=PK.MQ\)

2, Tính \(S=2021\left(\dfrac{PC}{BC}+\dfrac{PH}{DH}+\dfrac{PK}{MK}\right)+2022\)

3, Lấy các điểm \(A',B',C',D'\) theo thứ tự thuộc \(BD,BM,CM,CD\) sao cho \(A'B'C'D'\) là hình chữ nhật, \(O\) là giao của \(A'C',B'D'\). Gọi \(E,F\) là trung điểm của \(DM,BC\). Chứng minh \(E,O,F\) thẳng hàng.

Câu 5. (1 điểm).

Giải phương trình nghiệm nguyên: \(3^y=x^2-5x+7\)