`a)` Gọi `M(a;b)\in (P)y=x^2`

`=>b=a^2`

Để $M(a;b)$ cách đều hai trục tọa độ thì: 

`\qquad |a|=|b|`

`<=>a^2=b^2`

`<=>a^2=(a^2)^2`

`<=>a^2-a^4=0`

`<=>a^2 (1-a^2)=0`

$⇔\left[\begin{array}{l}a^2=0\\1-a^2=0\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}a^2=0\\a^2=1\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}a=0\\a=1\\a=-1\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}b=a^2=0\\b=1^2=1\\b=(-1)^2=1\end{array}\right.$

Vậy `M(0;0)` hoặc $M(1;1)$ hoặc $M(-1;1)$

$\\$

`b)` Gọi `N(a;b)\in (P)y=2x^2`

`=>b=2a^2`

Để $N(a;b)$ cách đều hai trục tọa độ thì: 

`\qquad |a|=|b|`

`<=>a^2=b^2`

`<=>a^2=(2a^2)^2`

`<=>a^2-4a^4=0`

`<=>a^2 (1-4a^2)=0`

$⇔\left[\begin{array}{l}a^2=0\\1-4a^2=0\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}a^2=0\\a^2=\dfrac{1}{4}\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}a=0\\a=\dfrac{1}{2}\\a=\dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}b=2.0^2=0\\b=2.(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{2}\\b=2.(\dfrac{-1}{2})^2=\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy  `N(0;0)` hoặc `N(1/ 2;1/ 2)` hoặc `N(1/ 2;1/ 2)`

$\\$

`c)` Gọi `A(a;b)\in (P)y=1/2x^2`

`=>b=1/2a^2`

Để $A(a;b)$ cách đều hai trục tọa độ thì: 

`\qquad |a|=|b|`

`<=>a^2=b^2`

`<=>a^2=(1/ 2 a^2)^2`

`<=>a^2-1/ 4 a^4=0`

`<=>a^2 (1- 1/ 4 a^2)=0`

$⇔\left[\begin{array}{l}a^2=0\\1-\dfrac{1}{4}a^2=0\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}a^2=0\\a^2=4\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}a=0\\a=2\\a=-2\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}b=\dfrac{1}{2}.0^2=0\\b=\dfrac{1}{2}.2^2=2\\b=\dfrac{1}{2}(-2)^2=2\end{array}\right.$

Vì $A$ không trùng với điểm $O$ nên 

Vậy  `A(2;2)` hoặc `A(-2;2)`

$\\$

`d)` Hai đường thẳng $y=-x+m$ và $y=-mx+1$ cắt nhau khi:

`\qquad  a\ne a'<=>-1\ne -m<=>m\ne 1`

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y=-x+m$ và $y=-mx+1$ là:

`\qquad -x+m=-mx+1`

`<=>mx-x=1-m`

`<=>x(m-1)=1-m`

`<=>x={1-m}/{m-1}=-1` 

Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên $(P)y=-2x^2$ nên:

`x=-1=>y=-2.(-1)^2=-2`

Thay $x=-1;y=-2$ vào $y=-x+m$ ta có:

`-2=1+m<=>m=-3(TM)`

Vậy $m=-3$

$\\$

`e)` Hai đường thẳng $y=2x+m+2$ và $y=(1-m)x+1$ cắt nhau khi:

`\qquad  a\ne a'<=>2\ne 1-m<=>m\ne -1`

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y=2x+m+2$ và $y=(1-m)x+1$ là:

`\qquad 2x+m+2=(1-m)x+1`

`<=>(2-1+m)x=1-m-2`

`<=>(1+m)x=-(1+m)`

`<=>x={-(1+m)}/{1+m}=-1` 

Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên $(P)y=-x^2$ nên:

`x=-1=>y=-(-1)^2=-1`

Thay $x=-1;y=-1$ vào $y=2x+m+2$ ta có:

`-1=2.(-1)+m+2<=>m=-1` (loại)

Vậy không có giá trị $m$ thỏa đề bài

$\\$

`f)` Gọi $M(x_0;y_0)$ là điểm cố định đồ thị hàm số $y=2mx+1+m$ luôn đi qua

`=>y_0=2mx_0+1+m\ \forall m`

`<=>y_0-1=m(2x_0+1)\ \forall m`

$⇔\begin{cases}y_0-1=0\\2x_0+1=0\end{cases}$ $⇔\begin{cases}y_0=1\\x_0=\dfrac{-1}{2}\end{cases}$ 

`=>M({-1}/2;1)`

$(P)y=4x^2$

Với `x={-1}/2=>y=4. ({-1}/2)^2=1`

`=>M({-1}/2;1)\in (P)`

Vậy đồ thị hàm số $y=2mx+1+m$ luôn đi qua điểm cố định `({-1}/2;1)` thuộc $(P)$