`a)` $AD=DE=EC$ (gt)

Mà $AC=AD+DE+EC$

`=>AC=AD+AD+AD`

`=>AC=3AD`

Vì $AC=3AB;AH=AB$ (gt)

`=>AB=AD=AH` $\quad (1)$

$\\$

Xét $∆AHK$ và $∆KDA$ có:

`\hat{AKH}=\hat{KAD}`  (hai góc so le trong do $Hx$//$AD$)

`AK` là cạnh chung 

`\hat{HAK}=\hat{DKA}` (hai góc so le trong do $Dy$//$AH$)

`=>∆AHK=∆KDA` (g-c-g)

`=>HK=DA` (hai cạnh tương ứng) $(2)$

`\qquad AH=KD` (hai cạnh tương ứng)  $(3)$

Từ `(1);(2),(3)=>AD=AH=HK=DK` (đpcm)

$\\$

`b)``\hat{BAC}+\hat{HAE}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{HAE}=180°-\hat{BAC}=180°-90°=90°`

Xét $∆ABE$ và $∆AHE$ có:

`AE` là cạnh chung

`\hat{BAE}=\hat{HAE}=90°`

`AB=AH` (gt)

`=>∆ABE=∆AHE` (c-g-c)

`=>BE=HE` (hai cạnh tương ứng)

`=>∆BEH` cân tại $E$ (đpcm)

$\\$

`c)` 

$Dy$//$AH$ (gt)

`=>\hat{CDK}=\hat{CAH}=90°` (hai góc đồng vị)

$\\$

$Hx$//$AD$ (gt)

`=>\hat{BHK}=\hat{BAC}=90°` (hai góc đồng vị)

$\\$

Ta có: $BH=AB+AH=AB+AB=2AB$

$CD=DE+EC=AD+AD=2AD=2AB$

`=>BH=CD`

Xét $∆BHK$ và $∆CDK$ có:

`BH=CD` (c/m trên)

`\hat{BHK}=\hat{CDK}=90°`

`HK=DK` (câu a)

`=>∆BHK=∆CDK` (c-g-c)

`=>BK=CK` (hai cạnh tương ứng) $(4)$

`\qquad \hat{BKH}=\hat{CKD}` (hai góc tương ứng)

$\\$

Ta có: $Hx$//`AD=>\hat{DKH}=\hat{CDK}=90°` (hai góc so le trong)

`=>\hat{BKH}+\hat{BKD}=90°`

`=>\hat{CKD}+\hat{BKD}=90°`

`=>\hat{BKC}=90°`

`=>BK`$\perp KC$ $(5)$

Từ `(4);(5)=>BK=KC; BK`$\perp KC$ (đpcm)

$\\$

`d)` $∆BKC$ có `BK=CK; BK`$\perp KC$

`=>∆BCK` vuông cân tại $K$

`=>\hat{BCK}=\hat{CBK}`

Mà `\hat{BCK}+\hat{CBK}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>2\hat{BCK}=90°=>\hat{BCK}={90°}/2=45°`

$\\$

Vì $AD=DE=EC$ (gt)

`=>AE=AD+DE=2DE`

`\qquad DC=DE+EC=2DE`

`=>AE=DC`

Xét $∆AHE$ và $∆DKC$ có:

`AE=DC`

`\hat{HAE}=\hat{KDC}=90°`

`AH=DK` (câu a)

`=>∆AHE=∆DKC` (c-g-c)

`=>\hat{AEH}=\hat{DCK}` (hai góc tương ứng)

$\\$

Mà `\hat{AEH}=\hat{AEB}` (do $∆ABE=∆AHE$ đã c/m)

`=>\hat{DCK}=\hat{AEB}` 

$\\$

`=>\hat{AEB}+\hat{ACB}`

`=\hat{DCK}+\hat{ACB}=\hat{BCK}=45°`

Vậy `\hat{AEB}+\hat{ACB}=45°` (đpcm)