Giải thích các bước giải:

1.Ta có $\widehat{HEC}=\widehat{HDC}=90^o$

$\to HECD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HC$

$\to O$ là trung điểm $HC$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $HECD$

2.Xét $\Delta  NIE, \Delta HCD$ có:

$\widehat{ENI}=\widehat{DNC}$

$\widehat{NIE}=\widehat{NCD}$

$\to\Delta NEI\sim\Delta NDC(g.g)$

$\to \dfrac{NE}{ND}=\dfrac{NI}{NC}$

$\to NE.NC=NI.ND$

3.Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o,\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^o$

$\to AEHF, AEDB$ nội tiếp

$\to \widehat{CIN}=\widehat{CID}=\widehat{CED}=\widehat{ABC}=\widehat{FBC}=\widehat{AEF}=\widehat{MEN}$

$\to MENI$ nội tiếp

$\to \widehat{EMN}=\widehat{EIN}=\widehat{EID}=\widehat{ECD}=\widehat{ECB}=\widehat{AFE}$

$\to MN//AB$

4.T acos $MN//AB, CF\perp AB\to CF\perp MN$

$\to MN\perp CH$

Gọi $MN\cap CK=J$

$\to MJ\perp CH$

Vì $CH$ là đường kính của $(O)$

$\to CK\perp HK\to CK\perp MH$

Do $MJ\perp CH, J\in CK$

$\to J$ là trực tâm $\Delta MHC$

$\to HJ\perp MC$

Lại có $CI\perp HI$ vì $HC$ là đường kính 

$\to H,J,I$ thẳng hàng

Ta có $MN// AB$

$\to \widehat{MEN}=\widehat{AEF}=\widehat{ABC}=\widehat{NTC}$

$\to METC$ nội tiếp

Do $CE\cap MT=N\to NE.NC=NT.NM$

$\to NM.NT=NE.NC=NK.NG$

$\to KMGT$ nội tiếp

Lại có $\widehat{MKJ}=\widehat{MIJ}=90^o$ vì $J$ là trực tâm $\Delta MCH$

$\to MKJI$ nội tiếp

$\to \widehat{KGT}=\widehat{TGN}=\widehat{KMN}=\widehat{KMJ}=\widehat{KIJ}=\widehat{KIH}=\widehat{KGH}$

$\to H,T,G$ thẳng hàng