a) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$

$AB^2 = BH.BC=9(9+16)$

$\Rightarrow AB=15$

$AC^2 = CH.BC=16(9+16)$

$\Rightarrow AC=20$

$AH^2 = BH.CH=9.16$

$\Rightarrow AH=12$

b) Tứ giác $AEHF$ có: $\widehat A=\widehat E=\widehat F=90^o$

$\Rightarrow$ 4 Tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow AH = EF = 12$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABH$

$HE^2 = AE.EB$ (1)

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ACH$

$HF^2 = AF.FC$ (2)

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $EHF$

$EF^2=EH^2+HF^2$ (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta có:

$AE.EB + AF.FC = EF^2=12^2=144$

c) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $AHB$

$AH.BH = HE. AB$

$\Rightarrow HE=\dfrac{AH.BH}{AB}=\dfrac{12.9}{15}= 7,2$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $AHC$

$AH.CH = HF. AC$

$\Rightarrow HF=\dfrac{AH.CH}{AC}=\dfrac{12.16}{20} = 9,6$

$\Rightarrow P_{AEHF}=(HE + HF) .2 = (7,2 +9,6).2 = 33,6 $

$S_{ AEHF} = HE.HF = 7,2.9,6 = 69,12$

d) $S_{BEFC}=S_{ABC}-S_{AEF}=\dfrac{AB.AC}{2}-\dfrac{AE.AF}{2}$

$=\dfrac{15.20}{2}-\dfrac{9,6.7,2}{2}=115,44$

$P_{BEFC}=EB+BC+FC+EF$

$=(15-9,6)+25+(20-7,2)+12$

$=55,2$

e) $AE.EB+AF.AC=EF^2$ (đã chứng minh ở câu b)

$\Delta $ vuông $ABC$:

$BH^2=BE.AB$

$CH^2=CF.AC$

Chia vế với vế

$\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{BH^2}{CH^2}.\dfrac{AC}{AB}$ (*)

Mà $AB^2=BH.BC \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}$

$AC^2=HC.BC \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}$ thay vào (*)

Ta có:

$\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{\dfrac{AB^4}{BC^2}}{\dfrac{AC^4}{BC^2}}.\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}$ (đpcm)

$\Delta ABH$ và $\Delta AHC$

$BE.AB=BH^2$

$CF.CA=HC^2$

$\Rightarrow BE.CF=\dfrac{BH^2.HC^2}{AB.AC}=\dfrac{BH^2.BC^2.CH^2.BC^2}{AB.AC.BC^4}$

$=\dfrac{AB^4.AC^4}{AB.AC.BC^4}=\dfrac{AB^3.AC^3}{BC^4}=\dfrac{(AH.BC)^3}{BC^4}=\dfrac{AH^3}{BC}$

$\Rightarrow BE.CF.BC=AH^3$