a)

Xét tứ giác $AEHD$ có $\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90{}^\circ $

$\to \widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180{}^\circ $

$\to AEHD$ là tứ giác nội tiếp

b)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

+   $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90{}^\circ $

$\to \Delta ADB\backsim\Delta AEC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to AE.AB=AD.AC$

$\to \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta ACB$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

+   $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}\left( cmt \right)$

$\to \Delta AED\backsim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{AED}=\widehat{ACB}$

c)

Gọi $F$ là giao điểm $AK$ và $BC$

$\Delta ABC$ có hai đường cao $BD,CE$ cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\bot BC$ tại $F$

$\to AK\bot BC\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì $AI$ là đường kính của $\left( O \right)$

$\to \widehat{AKI}=\widehat{ACI}=\widehat{ABI}=90{}^\circ $

$\to AK\bot KI\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

$\to BC//KI$

$\to BKIC$ là hình thang

Ta có:

+   $\widehat{BAI}+\widehat{AIB}=90{}^\circ $

+   $\widehat{KAC}+\widehat{ACB}=90{}^\circ $

Mà $\widehat{AIB}=\widehat{ACB}$ (cùng chắn cung $AB$)

$\to \widehat{BAI}=\widehat{KAC}$

$\to \overset\frown{BI}=\overset\frown{CK}$

$\to BI=CK$

Mà $BKIC$ là hình thang

Nên $BKIC$ trở thành hình thang cân