1. b) Hình 1

$\Delta AEF\sim\Delta ABC$

$\to \dfrac{FE}{CB}=\dfrac{FA}{CA}$

$\to FE.CA=CB.FA$

$\to \left( 2FT \right).CA=\left( 2CI \right).FA$

$\to FT.CA=CI.FA$

$\to \dfrac{FT}{CI}=\dfrac{FA}{CA}$

Xét $\Delta ATF$ và $\Delta AIC$ có:

$\widehat{AFT}=\widehat{ACI}$

$\dfrac{FT}{CI}=\dfrac{FA}{CA}$

$\to \Delta ATF\sim\Delta AIC$

$\to \widehat{ATF}=\widehat{AIC}$

$\to \widehat{ATE}=\widehat{AIS}$

$\to TNIS$ là tứ giác nội tiếp

1. c) Hình 2

$BFEC$ nội tiếp tâm $I$

$\to IF=IE$

Mà $TF=TE$

$\to TI$ là đường trung trực $EF$

$\to \widehat{ITN}=90{}^\circ $

Mặt khác $TNIS$ là tứ giác nội tiếp

$\to \widehat{ISN}=\widehat{ITN}=90{}^\circ $

$\to NS\,\bot BC$

$\to NS\,\,||\,\,IM$

$\bullet \,\,\,\,\,$Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Kẻ tiếp tuyến $xA$

$\to xA\bot OA$

Chứng minh được một bài toán quen thuộc là:

$xA\,\,||\,\,EF$

Mà $EF\bot IT$

Nên $IT\,\,||\,\,OA$

$\to \widehat{TIA}=\widehat{OAI}$ ( so le trong )

Mà:

$\widehat{TIA}=\widehat{TSN}$ ( $TNIS$ nội tiếp )

$\widehat{TSN}=\widehat{OMA}$ ( $NS\,\,||\,\,OM$, hai góc so le trong )

Nên $\widehat{OAI}=\widehat{OMA}$

$\to \Delta OAI\sim\Delta OMA$

$\to O{{A}^{2}}=OI.OM$

$\to O{{B}^{2}}=OI.OM$

$\to \Delta OBM\sim\Delta OIB$

$\to \widehat{OBM}=\widehat{OIB}=90{}^\circ $

$\to MB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$